Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70243 / 96869
↖ ↑ ↗
← S 64.892093°
E 12.928162°		 ← 129.57 m → S 64.892093°
E 12.930908°		 →
↑
129.59 m
↓
↑
129.59 m
↓
S 64.893259°
E 12.928162°		 ← 129.57 m →
16 790 m²		 S 64.893259°
E 12.930908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535915374755859 y=0.739055633544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535915374755859 × 217)
    floor (0.535915374755859 × 131072)
    floor (70243.5)     		tx = 70243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739055633544922 × 217)
    floor (0.739055633544922 × 131072)
    floor (96869.5)     		ty = 96869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70243 / 96869 ti = "17/70243/96869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70243/96869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70243 ÷ 217
    70243 ÷ 131072     		x = 0.535911560058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96869 ÷ 217
    96869 ÷ 131072     		y = 0.739051818847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535911560058594 × 2 - 1) × π
    0.0718231201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22563899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739051818847656 × 2 - 1) × π
    -0.478103637695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.50200687579522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22563899} λ = 0.22563899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50200687579522))-π/2
    2×atan(0.222682814664399)-π/2
    2×0.219107820542867-π/2
    0.438215641085733-1.57079632675     		φ = -1.13258069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22563899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.928162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13258069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.892093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70243 KachelY 96869 0.22563899 -1.13258069 12.928162 -64.892093
    Oben rechts KachelX + 1 70244 KachelY 96869 0.22568692 -1.13258069 12.930908 -64.892093
    Unten links KachelX 70243 KachelY + 1 96870 0.22563899 -1.13260103 12.928162 -64.893259
    Unten rechts KachelX + 1 70244 KachelY + 1 96870 0.22568692 -1.13260103 12.930908 -64.893259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13258069--1.13260103) × R
    2.03400000000631e-05 × 6371000     		dl = 129.586140000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13258069--1.13260103) × R
    2.03400000000631e-05 × 6371000     		dr = 129.586140000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22563899-0.22568692) × cos(-1.13258069) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424324382259856 × 6371000     		do = 129.57255474537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22563899-0.22568692) × cos(-1.13260103) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424305964093533 × 6371000     		du = 129.566930536713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13258069)-sin(-1.13260103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424324382259856-0.424305964093533)×R²
    abs(0.22568692-0.22563899)×1.8418166323364e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.8418166323364e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.8418166323364e-05×40589641000000     		ar = 16790.4428102515m²