Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70242 / 97702
↖ ↑ ↗
← S 65.845520°
E 12.925415°		 ← 124.98 m → S 65.845520°
E 12.928162°		 →
↑
125 m
↓
↑
125 m
↓
S 65.846644°
E 12.925415°		 ← 124.97 m →
15 622 m²		 S 65.846644°
E 12.928162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535907745361328 y=0.745410919189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535907745361328 × 217)
    floor (0.535907745361328 × 131072)
    floor (70242.5)     		tx = 70242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745410919189453 × 217)
    floor (0.745410919189453 × 131072)
    floor (97702.5)     		ty = 97702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70242 / 97702 ti = "17/70242/97702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70242/97702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70242 ÷ 217
    70242 ÷ 131072     		x = 0.535903930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97702 ÷ 217
    97702 ÷ 131072     		y = 0.745407104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535903930664062 × 2 - 1) × π
    0.071807861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22559105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745407104492188 × 2 - 1) × π
    -0.490814208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54193831317873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22559105} λ = 0.22559105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54193831317873))-π/2
    2×atan(0.213965966173852)-π/2
    2×0.210787602814187-π/2
    0.421575205628375-1.57079632675     		φ = -1.14922112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22559105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.925415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14922112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.845520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70242 KachelY 97702 0.22559105 -1.14922112 12.925415 -65.845520
    Oben rechts KachelX + 1 70243 KachelY 97702 0.22563899 -1.14922112 12.928162 -65.845520
    Unten links KachelX 70242 KachelY + 1 97703 0.22559105 -1.14924074 12.925415 -65.846644
    Unten rechts KachelX + 1 70243 KachelY + 1 97703 0.22563899 -1.14924074 12.928162 -65.846644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14922112--1.14924074) × R
    1.9619999999998e-05 × 6371000     		dl = 124.999019999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14922112--1.14924074) × R
    1.9619999999998e-05 × 6371000     		dr = 124.999019999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22559105-0.22563899) × cos(-1.14922112) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.409198250484791 × 6371000     		do = 124.979678461085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22559105-0.22563899) × cos(-1.14924074) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.409180348225308 × 6371000     		du = 124.974210650235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14922112)-sin(-1.14924074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409198250484791-0.409180348225308)×R²
    abs(0.22563899-0.22559105)×1.79022594824496e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.79022594824496e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.79022594824496e-05×40589641000000     		ar = 15621.9955924536m²