Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7024 / 5561
↖ ↑ ↗
← N 49.937080°
W 25.664062°		 ← 1 572.56 m → N 49.937080°
W 25.642090°		 →
↑
1 572.75 m
↓
↑
1 572.75 m
↓
N 49.922936°
W 25.664062°		 ← 1 573.03 m →
2 473 605 m²		 N 49.922936°
W 25.642090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428741455078125 y=0.339447021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428741455078125 × 214)
    floor (0.428741455078125 × 16384)
    floor (7024.5)     		tx = 7024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339447021484375 × 214)
    floor (0.339447021484375 × 16384)
    floor (5561.5)     		ty = 5561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7024 / 5561 ti = "14/7024/5561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7024/5561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7024 ÷ 214
    7024 ÷ 16384     		x = 0.4287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5561 ÷ 214
    5561 ÷ 16384     		y = 0.33941650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4287109375 × 2 - 1) × π
    -0.142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44792239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33941650390625 × 2 - 1) × π
    0.3211669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00897586320294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44792239} λ = -0.44792239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00897586320294))-π/2
    2×atan(2.74279058336628)-π/2
    2×1.22118139368328-π/2
    2.44236278736656-1.57079632675     		φ = 0.87156646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44792239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.664062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87156646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.937080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7024 KachelY 5561 -0.44792239 0.87156646 -25.664062 49.937080
    Oben rechts KachelX + 1 7025 KachelY 5561 -0.44753889 0.87156646 -25.642090 49.937080
    Unten links KachelX 7024 KachelY + 1 5562 -0.44792239 0.87131960 -25.664062 49.922936
    Unten rechts KachelX + 1 7025 KachelY + 1 5562 -0.44753889 0.87131960 -25.642090 49.922936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87156646-0.87131960) × R
    0.000246860000000071 × 6371000     		dl = 1572.74506000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87156646-0.87131960) × R
    0.000246860000000071 × 6371000     		dr = 1572.74506000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44792239--0.44753889) × cos(0.87156646) × R
    0.000383499999999981 × 0.64362846588642 × 6371000     		do = 1572.5635926882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44792239--0.44753889) × cos(0.87131960) × R
    0.000383499999999981 × 0.643817377635035 × 6371000     		du = 1573.02515670198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87156646)-sin(0.87131960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64362846588642-0.643817377635035)×R²
    abs(-0.44753889--0.44792239)×0.00018891174861535×R²
    0.000383499999999981×0.00018891174861535×6371000²
    0.000383499999999981×0.00018891174861535×40589641000000     		ar = 2473604.59576082m²