Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70236 / 95580
↖ ↑ ↗
← S 63.347202°
E 12.908936°		 ← 137.01 m → S 63.347202°
E 12.911682°		 →
↑
136.98 m
↓
↑
136.98 m
↓
S 63.348433°
E 12.908936°		 ← 137 m →
18 767 m²		 S 63.348433°
E 12.911682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535861968994141 y=0.729221343994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535861968994141 × 217)
    floor (0.535861968994141 × 131072)
    floor (70236.5)     		tx = 70236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729221343994141 × 217)
    floor (0.729221343994141 × 131072)
    floor (95580.5)     		ty = 95580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70236 / 95580 ti = "17/70236/95580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70236/95580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70236 ÷ 217
    70236 ÷ 131072     		x = 0.535858154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95580 ÷ 217
    95580 ÷ 131072     		y = 0.729217529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535858154296875 × 2 - 1) × π
    0.07171630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22530343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729217529296875 × 2 - 1) × π
    -0.45843505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44021621218497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22530343} λ = 0.22530343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44021621218497))-π/2
    2×atan(0.236876537551254)-π/2
    2×0.232589544978721-π/2
    0.465179089957441-1.57079632675     		φ = -1.10561724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22530343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.908936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10561724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.347202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70236 KachelY 95580 0.22530343 -1.10561724 12.908936 -63.347202
    Oben rechts KachelX + 1 70237 KachelY 95580 0.22535137 -1.10561724 12.911682 -63.347202
    Unten links KachelX 70236 KachelY + 1 95581 0.22530343 -1.10563874 12.908936 -63.348433
    Unten rechts KachelX + 1 70237 KachelY + 1 95581 0.22535137 -1.10563874 12.911682 -63.348433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10561724--1.10563874) × R
    2.15000000001186e-05 × 6371000     		dl = 136.976500000756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10561724--1.10563874) × R
    2.15000000001186e-05 × 6371000     		dr = 136.976500000756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22530343-0.22535137) × cos(-1.10561724) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.448582865893247 × 6371000     		do = 137.008753766755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22530343-0.22535137) × cos(-1.10563874) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.448563650352809 × 6371000     		du = 137.002884846097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10561724)-sin(-1.10563874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448582865893247-0.448563650352809)×R²
    abs(0.22535137-0.22530343)×1.92155404378225e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92155404378225e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92155404378225e-05×40589641000000     		ar = 18766.5776091679m²