Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7023 / 8039
↖ ↑ ↗
← N 79.328101°
W141.421509°		 ← 113.11 m → N 79.328101°
W141.416016°		 →
↑
113.15 m
↓
↑
113.15 m
↓
N 79.327083°
W141.421509°		 ← 113.12 m →
12 799 m²		 N 79.327083°
W141.416016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107170104980469 y=0.122673034667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107170104980469 × 216)
    floor (0.107170104980469 × 65536)
    floor (7023.5)     		tx = 7023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122673034667969 × 216)
    floor (0.122673034667969 × 65536)
    floor (8039.5)     		ty = 8039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7023 / 8039 ti = "16/7023/8039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7023/8039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7023 ÷ 216
    7023 ÷ 65536     		x = 0.107162475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8039 ÷ 216
    8039 ÷ 65536     		y = 0.122665405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107162475585938 × 2 - 1) × π
    -0.785675048828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.46827096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122665405273438 × 2 - 1) × π
    0.754669189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37086318140874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46827096} λ = -2.46827096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37086318140874))-π/2
    2×atan(10.7066300606176)-π/2
    2×1.47766643787636-π/2
    2.95533287575271-1.57079632675     		φ = 1.38453655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46827096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.421509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38453655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.328101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7023 KachelY 8039 -2.46827096 1.38453655 -141.421509 79.328101
    Oben rechts KachelX + 1 7024 KachelY 8039 -2.46817509 1.38453655 -141.416016 79.328101
    Unten links KachelX 7023 KachelY + 1 8040 -2.46827096 1.38451879 -141.421509 79.327083
    Unten rechts KachelX + 1 7024 KachelY + 1 8040 -2.46817509 1.38451879 -141.416016 79.327083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38453655-1.38451879) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dl = 113.148959999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38453655-1.38451879) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dr = 113.148959999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46827096--2.46817509) × cos(1.38453655) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185184667514904 × 6371000     		do = 113.108530109617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46827096--2.46817509) × cos(1.38451879) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185202120304105 × 6371000     		du = 113.119190059814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38453655)-sin(1.38451879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185184667514904-0.185202120304105)×R²
    abs(-2.46817509--2.46827096)×1.7452789200928e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.7452789200928e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7452789200928e-05×40589641000000     		ar = 12798.7156301804m²