Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7023 / 5410
↖ ↑ ↗
← N 52.025459°
W 25.686035°		 ← 1 503.38 m → N 52.025459°
W 25.664062°		 →
↑
1 503.62 m
↓
↑
1 503.62 m
↓
N 52.011936°
W 25.686035°		 ← 1 503.83 m →
2 260 849 m²		 N 52.011936°
W 25.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428680419921875 y=0.330230712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428680419921875 × 214)
    floor (0.428680419921875 × 16384)
    floor (7023.5)     		tx = 7023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330230712890625 × 214)
    floor (0.330230712890625 × 16384)
    floor (5410.5)     		ty = 5410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7023 / 5410 ti = "14/7023/5410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7023/5410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7023 ÷ 214
    7023 ÷ 16384     		x = 0.42864990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5410 ÷ 214
    5410 ÷ 16384     		y = 0.3302001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42864990234375 × 2 - 1) × π
    -0.1427001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44830589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3302001953125 × 2 - 1) × π
    0.339599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06688363794397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44830589} λ = -0.44830589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06688363794397))-π/2
    2×atan(2.90630826389374)-π/2
    2×1.23940593713351-π/2
    2.47881187426701-1.57079632675     		φ = 0.90801555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44830589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.686035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90801555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.025459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7023 KachelY 5410 -0.44830589 0.90801555 -25.686035 52.025459
    Oben rechts KachelX + 1 7024 KachelY 5410 -0.44792239 0.90801555 -25.664062 52.025459
    Unten links KachelX 7023 KachelY + 1 5411 -0.44830589 0.90777954 -25.686035 52.011936
    Unten rechts KachelX + 1 7024 KachelY + 1 5411 -0.44792239 0.90777954 -25.664062 52.011936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90801555-0.90777954) × R
    0.000236009999999953 × 6371000     		dl = 1503.6197099997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90801555-0.90777954) × R
    0.000236009999999953 × 6371000     		dr = 1503.6197099997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44830589--0.44792239) × cos(0.90801555) × R
    0.000383499999999981 × 0.615311270678919 × 6371000     		do = 1503.37679845741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44830589--0.44792239) × cos(0.90777954) × R
    0.000383499999999981 × 0.615497296503606 × 6371000     		du = 1503.83131135531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90801555)-sin(0.90777954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615311270678919-0.615497296503606)×R²
    abs(-0.44792239--0.44830589)×0.000186025824687186×R²
    0.000383499999999981×0.000186025824687186×6371000²
    0.000383499999999981×0.000186025824687186×40589641000000     		ar = 2260848.70348743m²