Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70221 / 96884
↖ ↑ ↗
← S 64.909569°
E 12.867737°		 ← 129.52 m → S 64.909569°
E 12.870483°		 →
↑
129.52 m
↓
↑
129.52 m
↓
S 64.910734°
E 12.867737°		 ← 129.51 m →
16 775 m²		 S 64.910734°
E 12.870483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535747528076172 y=0.739170074462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535747528076172 × 217)
    floor (0.535747528076172 × 131072)
    floor (70221.5)     		tx = 70221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739170074462891 × 217)
    floor (0.739170074462891 × 131072)
    floor (96884.5)     		ty = 96884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70221 / 96884 ti = "17/70221/96884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70221/96884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70221 ÷ 217
    70221 ÷ 131072     		x = 0.535743713378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96884 ÷ 217
    96884 ÷ 131072     		y = 0.739166259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535743713378906 × 2 - 1) × π
    0.0714874267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22458437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739166259765625 × 2 - 1) × π
    -0.47833251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50272592928952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22458437} λ = 0.22458437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50272592928952))-π/2
    2×atan(0.222522751362328)-π/2
    2×0.218955314233548-π/2
    0.437910628467096-1.57079632675     		φ = -1.13288570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22458437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.867737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13288570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.909569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70221 KachelY 96884 0.22458437 -1.13288570 12.867737 -64.909569
    Oben rechts KachelX + 1 70222 KachelY 96884 0.22463231 -1.13288570 12.870483 -64.909569
    Unten links KachelX 70221 KachelY + 1 96885 0.22458437 -1.13290603 12.867737 -64.910734
    Unten rechts KachelX + 1 70222 KachelY + 1 96885 0.22463231 -1.13290603 12.870483 -64.910734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13288570--1.13290603) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dl = 129.522429999374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13288570--1.13290603) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dr = 129.522429999374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22458437-0.22463231) × cos(-1.13288570) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424048172844133 × 6371000     		do = 129.515226986557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22458437-0.22463231) × cos(-1.13290603) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424029761102739 × 6371000     		du = 129.509603566817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13288570)-sin(-1.13290603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424048172844133-0.424029761102739)×R²
    abs(0.22463231-0.22458437)×1.84117413942197e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84117413942197e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84117413942197e-05×40589641000000     		ar = 16774.7627423898m²