Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 7022 / 8038
N 79.329118°
W141.427002°
← 113.11 m → N 79.329118°
W141.421509°

113.09 m

113.09 m
N 79.328101°
W141.427002°
← 113.12 m →
12 792 m²
N 79.328101°
W141.421509°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107154846191406 y=0.122657775878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107154846191406 × 216)
    floor (0.107154846191406 × 65536)
    floor (7022.5)
    tx = 7022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122657775878906 × 216)
    floor (0.122657775878906 × 65536)
    floor (8038.5)
    ty = 8038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7022 / 8038 ti = "16/7022/8038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7022/8038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7022 ÷ 216
    7022 ÷ 65536
    x = 0.107147216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8038 ÷ 216
    8038 ÷ 65536
    y = 0.122650146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.107147216796875 × 2 - 1) × π
    -0.78570556640625 × 3.1415926535
    Λ = -2.46836684
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.122650146484375 × 2 - 1) × π
    0.75469970703125 × 3.1415926535
    Φ = 2.37095905520798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46836684} λ = -2.46836684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37095905520798))-π/2
    2×atan(10.7076565951266)-π/2
    2×1.47767531463705-π/2
    2.9553506292741-1.57079632675
    φ = 1.38455430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46836684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.427002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38455430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.329118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7022 KachelY 8038 -2.46836684 1.38455430 -141.427002 79.329118
    Oben rechts KachelX + 1 7023 KachelY 8038 -2.46827096 1.38455430 -141.421509 79.329118
    Unten links KachelX 7022 KachelY + 1 8039 -2.46836684 1.38453655 -141.427002 79.328101
    Unten rechts KachelX + 1 7023 KachelY + 1 8039 -2.46827096 1.38453655 -141.421509 79.328101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.38455430-1.38453655) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000
    dl = 113.085250000246m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.38455430-1.38453655) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000
    dr = 113.085250000246m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46836684--2.46827096) × cos(1.38455430) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.185167224494363 × 6371000
    do = 113.1096731298m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46836684--2.46827096) × cos(1.38453655) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.185184667514904 × 6371000
    du = 113.120328224713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.38455430)-sin(1.38453655))×
    abs(λ12)×abs(0.185167224494363-0.185184667514904)×
    abs(-2.46827096--2.46836684)×1.74430205411857e-05×
    9.58799999999371e-05×1.74430205411857e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.74430205411857e-05×40589641000000
    ar = 12791.6381309565m²