Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70211 / 95621
↖ ↑ ↗
← S 63.397672°
E 12.840271°		 ← 136.74 m → S 63.397672°
E 12.843017°		 →
↑
136.79 m
↓
↑
136.79 m
↓
S 63.398902°
E 12.840271°		 ← 136.73 m →
18 704 m²		 S 63.398902°
E 12.843017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535671234130859 y=0.729534149169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535671234130859 × 217)
    floor (0.535671234130859 × 131072)
    floor (70211.5)     		tx = 70211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729534149169922 × 217)
    floor (0.729534149169922 × 131072)
    floor (95621.5)     		ty = 95621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70211 / 95621 ti = "17/70211/95621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70211/95621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70211 ÷ 217
    70211 ÷ 131072     		x = 0.535667419433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95621 ÷ 217
    95621 ÷ 131072     		y = 0.729530334472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535667419433594 × 2 - 1) × π
    0.0713348388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22410501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729530334472656 × 2 - 1) × π
    -0.459060668945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.44218162506939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22410501} λ = 0.22410501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44218162506939))-π/2
    2×atan(0.236411434561756)-π/2
    2×0.2321491067045-π/2
    0.464298213408999-1.57079632675     		φ = -1.10649811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22410501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.840271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10649811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.397672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70211 KachelY 95621 0.22410501 -1.10649811 12.840271 -63.397672
    Oben rechts KachelX + 1 70212 KachelY 95621 0.22415294 -1.10649811 12.843017 -63.397672
    Unten links KachelX 70211 KachelY + 1 95622 0.22410501 -1.10651958 12.840271 -63.398902
    Unten rechts KachelX + 1 70212 KachelY + 1 95622 0.22415294 -1.10651958 12.843017 -63.398902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10649811--1.10651958) × R
    2.14700000000789e-05 × 6371000     		dl = 136.785370000503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10649811--1.10651958) × R
    2.14700000000789e-05 × 6371000     		dr = 136.785370000503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22410501-0.22415294) × cos(-1.10649811) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.447795422109985 × 6371000     		do = 136.739719120216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22410501-0.22415294) × cos(-1.10651958) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.447776224905977 × 6371000     		du = 136.73385702303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10649811)-sin(-1.10651958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447795422109985-0.447776224905977)×R²
    abs(0.22415294-0.22410501)×1.91972040083921e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.91972040083921e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.91972040083921e-05×40589641000000     		ar = 18703.5921497884m²