Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7021 / 9269
↖ ↑ ↗
← N 78.001617°
W141.432495°		 ← 126.97 m → N 78.001617°
W141.427002°		 →
↑
126.97 m
↓
↑
126.97 m
↓
N 78.000475°
W141.432495°		 ← 126.98 m →
16 123 m²		 N 78.000475°
W141.427002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107139587402344 y=0.141441345214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107139587402344 × 216)
    floor (0.107139587402344 × 65536)
    floor (7021.5)     		tx = 7021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141441345214844 × 216)
    floor (0.141441345214844 × 65536)
    floor (9269.5)     		ty = 9269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7021 / 9269 ti = "16/7021/9269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7021/9269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7021 ÷ 216
    7021 ÷ 65536     		x = 0.107131958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9269 ÷ 216
    9269 ÷ 65536     		y = 0.141433715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107131958007812 × 2 - 1) × π
    -0.785736083984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.46846271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141433715820312 × 2 - 1) × π
    0.717132568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2529384083434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46846271} λ = -2.46846271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2529384083434))-π/2
    2×atan(9.5156556783595)-π/2
    2×1.46609067795444-π/2
    2.93218135590887-1.57079632675     		φ = 1.36138503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46846271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.432495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36138503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.001617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7021 KachelY 9269 -2.46846271 1.36138503 -141.432495 78.001617
    Oben rechts KachelX + 1 7022 KachelY 9269 -2.46836684 1.36138503 -141.427002 78.001617
    Unten links KachelX 7021 KachelY + 1 9270 -2.46846271 1.36136510 -141.432495 78.000475
    Unten rechts KachelX + 1 7022 KachelY + 1 9270 -2.46836684 1.36136510 -141.427002 78.000475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36138503-1.36136510) × R
    1.99300000001124e-05 × 6371000     		dl = 126.974030000716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36138503-1.36136510) × R
    1.99300000001124e-05 × 6371000     		dr = 126.974030000716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46846271--2.46836684) × cos(1.36138503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207884093822043 × 6371000     		do = 126.973062084034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46846271--2.46836684) × cos(1.36136510) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207903588379338 × 6371000     		du = 126.984969121211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36138503)-sin(1.36136510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207884093822043-0.207903588379338)×R²
    abs(-2.46836684--2.46846271)×1.94945572948857e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94945572948857e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94945572948857e-05×40589641000000     		ar = 16123.0373369283m²