Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7021 / 5401
↖ ↑ ↗
← N 52.146973°
W 25.729981°		 ← 1 499.29 m → N 52.146973°
W 25.708008°		 →
↑
1 499.48 m
↓
↑
1 499.48 m
↓
N 52.133488°
W 25.729981°		 ← 1 499.74 m →
2 248 492 m²		 N 52.133488°
W 25.708008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428558349609375 y=0.329681396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428558349609375 × 214)
    floor (0.428558349609375 × 16384)
    floor (7021.5)     		tx = 7021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329681396484375 × 214)
    floor (0.329681396484375 × 16384)
    floor (5401.5)     		ty = 5401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7021 / 5401 ti = "14/7021/5401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7021/5401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7021 ÷ 214
    7021 ÷ 16384     		x = 0.42852783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5401 ÷ 214
    5401 ÷ 16384     		y = 0.32965087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42852783203125 × 2 - 1) × π
    -0.1429443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44907288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32965087890625 × 2 - 1) × π
    0.3406982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07033509471661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44907288} λ = -0.44907288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07033509471661))-π/2
    2×atan(2.9163565919444)-π/2
    2×1.24046635326004-π/2
    2.48093270652008-1.57079632675     		φ = 0.91013638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44907288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.729981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91013638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.146973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7021 KachelY 5401 -0.44907288 0.91013638 -25.729981 52.146973
    Oben rechts KachelX + 1 7022 KachelY 5401 -0.44868938 0.91013638 -25.708008 52.146973
    Unten links KachelX 7021 KachelY + 1 5402 -0.44907288 0.90990102 -25.729981 52.133488
    Unten rechts KachelX + 1 7022 KachelY + 1 5402 -0.44868938 0.90990102 -25.708008 52.133488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91013638-0.90990102) × R
    0.000235360000000018 × 6371000     		dl = 1499.47856000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91013638-0.90990102) × R
    0.000235360000000018 × 6371000     		dr = 1499.47856000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44907288--0.44868938) × cos(0.91013638) × R
    0.000383499999999981 × 0.613638071261443 × 6371000     		do = 1499.28870629448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44907288--0.44868938) × cos(0.90990102) × R
    0.000383499999999981 × 0.613823891562393 × 6371000     		du = 1499.74271704065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91013638)-sin(0.90990102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613638071261443-0.613823891562393)×R²
    abs(-0.44868938--0.44907288)×0.000185820300949491×R²
    0.000383499999999981×0.000185820300949491×6371000²
    0.000383499999999981×0.000185820300949491×40589641000000     		ar = 2248491.67040769m²