Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7020 / 5539
↖ ↑ ↗
← N 50.247205°
W 25.751953°		 ← 1 562.38 m → N 50.247205°
W 25.729981°		 →
↑
1 562.68 m
↓
↑
1 562.68 m
↓
N 50.233152°
W 25.751953°		 ← 1 562.84 m →
2 441 856 m²		 N 50.233152°
W 25.729981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428497314453125 y=0.338104248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428497314453125 × 214)
    floor (0.428497314453125 × 16384)
    floor (7020.5)     		tx = 7020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338104248046875 × 214)
    floor (0.338104248046875 × 16384)
    floor (5539.5)     		ty = 5539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7020 / 5539 ti = "14/7020/5539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7020/5539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7020 ÷ 214
    7020 ÷ 16384     		x = 0.428466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5539 ÷ 214
    5539 ÷ 16384     		y = 0.33807373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428466796875 × 2 - 1) × π
    -0.14306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44945637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33807373046875 × 2 - 1) × π
    0.3238525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01741275753607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44945637} λ = -0.44945637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01741275753607))-π/2
    2×atan(2.76602911034902)-π/2
    2×1.22388774611492-π/2
    2.44777549222984-1.57079632675     		φ = 0.87697917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44945637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87697917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.247205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7020 KachelY 5539 -0.44945637 0.87697917 -25.751953 50.247205
    Oben rechts KachelX + 1 7021 KachelY 5539 -0.44907288 0.87697917 -25.729981 50.247205
    Unten links KachelX 7020 KachelY + 1 5540 -0.44945637 0.87673389 -25.751953 50.233152
    Unten rechts KachelX + 1 7021 KachelY + 1 5540 -0.44907288 0.87673389 -25.729981 50.233152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87697917-0.87673389) × R
    0.000245280000000014 × 6371000     		dl = 1562.67888000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87697917-0.87673389) × R
    0.000245280000000014 × 6371000     		dr = 1562.67888000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44945637--0.44907288) × cos(0.87697917) × R
    0.000383489999999986 × 0.639476504653314 × 6371000     		do = 1562.37845402642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44945637--0.44907288) × cos(0.87673389) × R
    0.000383489999999986 × 0.639665059288992 × 6371000     		du = 1562.83913350104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87697917)-sin(0.87673389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639476504653314-0.639665059288992)×R²
    abs(-0.44907288--0.44945637)×0.000188554635677907×R²
    0.000383489999999986×0.000188554635677907×6371000²
    0.000383489999999986×0.000188554635677907×40589641000000     		ar = 2441855.77195841m²