Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7020 / 2390
↖ ↑ ↗
← N 77.664737°
W 25.751953°		 ← 521.95 m → N 77.664737°
W 25.729981°		 →
↑
522.04 m
↓
↑
522.04 m
↓
N 77.660043°
W 25.751953°		 ← 522.14 m →
272 529 m²		 N 77.660043°
W 25.729981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428497314453125 y=0.145904541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428497314453125 × 214)
    floor (0.428497314453125 × 16384)
    floor (7020.5)     		tx = 7020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145904541015625 × 214)
    floor (0.145904541015625 × 16384)
    floor (2390.5)     		ty = 2390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7020 / 2390 ti = "14/7020/2390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7020/2390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7020 ÷ 214
    7020 ÷ 16384     		x = 0.428466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2390 ÷ 214
    2390 ÷ 16384     		y = 0.1458740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428466796875 × 2 - 1) × π
    -0.14306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44945637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1458740234375 × 2 - 1) × π
    0.708251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22503913276453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44945637} λ = -0.44945637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22503913276453))-π/2
    2×atan(9.25384492535587)-π/2
    2×1.46315085563-π/2
    2.92630171125999-1.57079632675     		φ = 1.35550538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44945637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35550538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.664737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7020 KachelY 2390 -0.44945637 1.35550538 -25.751953 77.664737
    Oben rechts KachelX + 1 7021 KachelY 2390 -0.44907288 1.35550538 -25.729981 77.664737
    Unten links KachelX 7020 KachelY + 1 2391 -0.44945637 1.35542344 -25.751953 77.660043
    Unten rechts KachelX + 1 7021 KachelY + 1 2391 -0.44907288 1.35542344 -25.729981 77.660043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35550538-1.35542344) × R
    8.19400000000581e-05 × 6371000     		dl = 522.03974000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35550538-1.35542344) × R
    8.19400000000581e-05 × 6371000     		dr = 522.03974000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44945637--0.44907288) × cos(1.35550538) × R
    0.000383489999999986 × 0.213631667417422 × 6371000     		do = 521.948049446588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44945637--0.44907288) × cos(1.35542344) × R
    0.000383489999999986 × 0.213711715056266 × 6371000     		du = 522.143623021715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35550538)-sin(1.35542344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213631667417422-0.213711715056266)×R²
    abs(-0.44907288--0.44945637)×8.00476388434501e-05×R²
    0.000383489999999986×8.00476388434501e-05×6371000²
    0.000383489999999986×8.00476388434501e-05×40589641000000     		ar = 272528.672768404m²