Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7018 / 2394
↖ ↑ ↗
← N 77.645947°
W 25.795898°		 ← 522.73 m → N 77.645947°
W 25.773926°		 →
↑
522.80 m
↓
↑
522.80 m
↓
N 77.641246°
W 25.795898°		 ← 522.93 m →
273 337 m²		 N 77.641246°
W 25.773926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428375244140625 y=0.146148681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428375244140625 × 214)
    floor (0.428375244140625 × 16384)
    floor (7018.5)     		tx = 7018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146148681640625 × 214)
    floor (0.146148681640625 × 16384)
    floor (2394.5)     		ty = 2394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7018 / 2394 ti = "14/7018/2394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7018/2394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7018 ÷ 214
    7018 ÷ 16384     		x = 0.4283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2394 ÷ 214
    2394 ÷ 16384     		y = 0.1461181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.143310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45022336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1461181640625 × 2 - 1) × π
    0.707763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22350515197668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45022336} λ = -0.45022336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22350515197668))-π/2
    2×atan(9.23966058705935)-π/2
    2×1.46298687936545-π/2
    2.9259737587309-1.57079632675     		φ = 1.35517743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45022336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.795898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35517743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.645947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7018 KachelY 2394 -0.45022336 1.35517743 -25.795898 77.645947
    Oben rechts KachelX + 1 7019 KachelY 2394 -0.44983987 1.35517743 -25.773926 77.645947
    Unten links KachelX 7018 KachelY + 1 2395 -0.45022336 1.35509537 -25.795898 77.641246
    Unten rechts KachelX + 1 7019 KachelY + 1 2395 -0.44983987 1.35509537 -25.773926 77.641246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35517743-1.35509537) × R
    8.20599999999949e-05 × 6371000     		dl = 522.804259999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35517743-1.35509537) × R
    8.20599999999949e-05 × 6371000     		dr = 522.804259999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45022336--0.44983987) × cos(1.35517743) × R
    0.000383490000000042 × 0.213952034961669 × 6371000     		do = 522.730776169005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45022336--0.44983987) × cos(1.35509537) × R
    0.000383490000000042 × 0.214032194073569 × 6371000     		du = 522.926622096752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35517743)-sin(1.35509537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213952034961669-0.214032194073569)×R²
    abs(-0.44983987--0.45022336)×8.01591118999023e-05×R²
    0.000383490000000042×8.01591118999023e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.01591118999023e-05×40589641000000     		ar = 273337.071309081m²