Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70175 / 97570
↖ ↑ ↗
← S 65.696737°
E 12.741394°		 ← 125.68 m → S 65.696737°
E 12.744140°		 →
↑
125.70 m
↓
↑
125.70 m
↓
S 65.697867°
E 12.741394°		 ← 125.67 m →
15 797 m²		 S 65.697867°
E 12.744140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535396575927734 y=0.744403839111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535396575927734 × 217)
    floor (0.535396575927734 × 131072)
    floor (70175.5)     		tx = 70175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744403839111328 × 217)
    floor (0.744403839111328 × 131072)
    floor (97570.5)     		ty = 97570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70175 / 97570 ti = "17/70175/97570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70175/97570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70175 ÷ 217
    70175 ÷ 131072     		x = 0.535392761230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97570 ÷ 217
    97570 ÷ 131072     		y = 0.744400024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535392761230469 × 2 - 1) × π
    0.0707855224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22237928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744400024414062 × 2 - 1) × π
    -0.488800048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53561064242888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22237928} λ = 0.22237928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53561064242888))-π/2
    2×atan(0.215324164945004)-π/2
    2×0.212085981847484-π/2
    0.424171963694968-1.57079632675     		φ = -1.14662436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22237928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.741394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14662436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.696737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70175 KachelY 97570 0.22237928 -1.14662436 12.741394 -65.696737
    Oben rechts KachelX + 1 70176 KachelY 97570 0.22242721 -1.14662436 12.744140 -65.696737
    Unten links KachelX 70175 KachelY + 1 97571 0.22237928 -1.14664409 12.741394 -65.697867
    Unten rechts KachelX + 1 70176 KachelY + 1 97571 0.22242721 -1.14664409 12.744140 -65.697867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14662436--1.14664409) × R
    1.97299999999956e-05 × 6371000     		dl = 125.699829999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14662436--1.14664409) × R
    1.97299999999956e-05 × 6371000     		dr = 125.699829999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22237928-0.22242721) × cos(-1.14662436) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.411566270156014 × 6371000     		do = 125.6767117343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22237928-0.22242721) × cos(-1.14664409) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.411548288551747 × 6371000     		du = 125.671220835119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14662436)-sin(-1.14664409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411566270156014-0.411548288551747)×R²
    abs(0.22242721-0.22237928)×1.79816042668035e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.79816042668035e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.79816042668035e-05×40589641000000     		ar = 15797.1961977976m²