Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70174 / 97571
↖ ↑ ↗
← S 65.697867°
E 12.738647°		 ← 125.70 m → S 65.697867°
E 12.741394°		 →
↑
125.70 m
↓
↑
125.70 m
↓
S 65.698997°
E 12.738647°		 ← 125.69 m →
15 800 m²		 S 65.698997°
E 12.741394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535388946533203 y=0.744411468505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535388946533203 × 217)
    floor (0.535388946533203 × 131072)
    floor (70174.5)     		tx = 70174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744411468505859 × 217)
    floor (0.744411468505859 × 131072)
    floor (97571.5)     		ty = 97571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70174 / 97571 ti = "17/70174/97571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70174/97571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70174 ÷ 217
    70174 ÷ 131072     		x = 0.535385131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97571 ÷ 217
    97571 ÷ 131072     		y = 0.744407653808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535385131835938 × 2 - 1) × π
    0.070770263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22233134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744407653808594 × 2 - 1) × π
    -0.488815307617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.5356585793285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22233134} λ = 0.22233134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5356585793285))-π/2
    2×atan(0.215313843219521)-π/2
    2×0.212076117457546-π/2
    0.424152234915091-1.57079632675     		φ = -1.14664409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22233134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.738647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14664409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.697867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70174 KachelY 97571 0.22233134 -1.14664409 12.738647 -65.697867
    Oben rechts KachelX + 1 70175 KachelY 97571 0.22237928 -1.14664409 12.741394 -65.697867
    Unten links KachelX 70174 KachelY + 1 97572 0.22233134 -1.14666382 12.738647 -65.698997
    Unten rechts KachelX + 1 70175 KachelY + 1 97572 0.22237928 -1.14666382 12.741394 -65.698997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14664409--1.14666382) × R
    1.97299999999956e-05 × 6371000     		dl = 125.699829999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14664409--1.14666382) × R
    1.97299999999956e-05 × 6371000     		dr = 125.699829999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22233134-0.22237928) × cos(-1.14664409) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.411548288551747 × 6371000     		do = 125.697440576714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22233134-0.22237928) × cos(-1.14666382) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.411530306787276 × 6371000     		du = 125.691948482994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14664409)-sin(-1.14666382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411548288551747-0.411530306787276)×R²
    abs(0.22237928-0.22233134)×1.79817644713198e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.79817644713198e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.79817644713198e-05×40589641000000     		ar = 15799.801734869m²