Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7016 / 5562
↖ ↑ ↗
← N 49.922936°
W 25.839844°		 ← 1 572.98 m → N 49.922936°
W 25.817871°		 →
↑
1 573.25 m
↓
↑
1 573.25 m
↓
N 49.908787°
W 25.839844°		 ← 1 573.45 m →
2 475 068 m²		 N 49.908787°
W 25.817871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428253173828125 y=0.339508056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428253173828125 × 214)
    floor (0.428253173828125 × 16384)
    floor (7016.5)     		tx = 7016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339508056640625 × 214)
    floor (0.339508056640625 × 16384)
    floor (5562.5)     		ty = 5562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7016 / 5562 ti = "14/7016/5562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7016/5562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7016 ÷ 214
    7016 ÷ 16384     		x = 0.42822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5562 ÷ 214
    5562 ÷ 16384     		y = 0.3394775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42822265625 × 2 - 1) × π
    -0.1435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45099035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3394775390625 × 2 - 1) × π
    0.321044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00859236800598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45099035} λ = -0.45099035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00859236800598))-π/2
    2×atan(2.74173893801465)-π/2
    2×1.22105796135895-π/2
    2.4421159227179-1.57079632675     		φ = 0.87131960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45099035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.839844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87131960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.922936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7016 KachelY 5562 -0.45099035 0.87131960 -25.839844 49.922936
    Oben rechts KachelX + 1 7017 KachelY 5562 -0.45060686 0.87131960 -25.817871 49.922936
    Unten links KachelX 7016 KachelY + 1 5563 -0.45099035 0.87107266 -25.839844 49.908787
    Unten rechts KachelX + 1 7017 KachelY + 1 5563 -0.45060686 0.87107266 -25.817871 49.908787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87131960-0.87107266) × R
    0.000246939999999918 × 6371000     		dl = 1573.25473999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87131960-0.87107266) × R
    0.000246939999999918 × 6371000     		dr = 1573.25473999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45099035--0.45060686) × cos(0.87131960) × R
    0.000383489999999986 × 0.643817377635035 × 6371000     		do = 1572.98413909688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45099035--0.45060686) × cos(0.87107266) × R
    0.000383489999999986 × 0.644006311351126 × 6371000     		du = 1573.44574474636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87131960)-sin(0.87107266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643817377635035-0.644006311351126)×R²
    abs(-0.45060686--0.45099035)×0.000188933716090967×R²
    0.000383489999999986×0.000188933716090967×6371000²
    0.000383489999999986×0.000188933716090967×40589641000000     		ar = 2475067.87699342m²