Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7014 / 3558
↖ ↑ ↗
← N 22.998851°
E128.232422°		 ← 4 498.08 m → N 22.998851°
E128.276367°		 →
↑
4 498.75 m
↓
↑
4 498.75 m
↓
N 22.958393°
E128.232422°		 ← 4 499.43 m →
20 238 783 m²		 N 22.958393°
E128.276367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.85626220703125 y=0.43438720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.85626220703125 × 213)
    floor (0.85626220703125 × 8192)
    floor (7014.5)     		tx = 7014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43438720703125 × 213)
    floor (0.43438720703125 × 8192)
    floor (3558.5)     		ty = 3558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7014 / 3558 ti = "13/7014/3558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7014/3558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7014 ÷ 213
    7014 ÷ 8192     		x = 0.856201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3558 ÷ 213
    3558 ÷ 8192     		y = 0.434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.856201171875 × 2 - 1) × π
    0.71240234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.23807797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434326171875 × 2 - 1) × π
    0.13134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.412640831929443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.23807797} λ = 2.23807797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.412640831929443))-π/2
    2×atan(1.51080229652845)-π/2
    2×0.98610100563969-π/2
    1.97220201127938-1.57079632675     		φ = 0.40140568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.23807797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 128.232422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40140568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.998851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7014 KachelY 3558 2.23807797 0.40140568 128.232422 22.998851
    Oben rechts KachelX + 1 7015 KachelY 3558 2.23884496 0.40140568 128.276367 22.998851
    Unten links KachelX 7014 KachelY + 1 3559 2.23807797 0.40069955 128.232422 22.958393
    Unten rechts KachelX + 1 7015 KachelY + 1 3559 2.23884496 0.40069955 128.276367 22.958393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40140568-0.40069955) × R
    0.000706129999999972 × 6371000     		dl = 4498.75422999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40140568-0.40069955) × R
    0.000706129999999972 × 6371000     		dr = 4498.75422999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.23807797-2.23884496) × cos(0.40140568) × R
    0.000766990000000245 × 0.92051268662898 × 6371000     		do = 4498.07906657382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.23807797-2.23884496) × cos(0.40069955) × R
    0.000766990000000245 × 0.920788351053848 × 6371000     		du = 4499.42609893623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40140568)-sin(0.40069955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92051268662898-0.920788351053848)×R²
    abs(2.23884496-2.23807797)×0.000275664424868483×R²
    0.000766990000000245×0.000275664424868483×6371000²
    0.000766990000000245×0.000275664424868483×40589641000000     		ar = 20238783.0523468m²