Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7014 / 2013
↖ ↑ ↗
← N 79.314868°
W 25.883789°		 ← 453 m → N 79.314868°
W 25.861817°		 →
↑
453.11 m
↓
↑
453.11 m
↓
N 79.310794°
W 25.883789°		 ← 453.17 m →
205 296 m²		 N 79.310794°
W 25.861817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428131103515625 y=0.122894287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428131103515625 × 214)
    floor (0.428131103515625 × 16384)
    floor (7014.5)     		tx = 7014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122894287109375 × 214)
    floor (0.122894287109375 × 16384)
    floor (2013.5)     		ty = 2013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7014 / 2013 ti = "14/7014/2013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7014/2013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7014 ÷ 214
    7014 ÷ 16384     		x = 0.4281005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2013 ÷ 214
    2013 ÷ 16384     		y = 0.12286376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4281005859375 × 2 - 1) × π
    -0.143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45175734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12286376953125 × 2 - 1) × π
    0.7542724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36961682201862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45175734} λ = -0.45175734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36961682201862))-π/2
    2×atan(10.6932940641535)-π/2
    2×1.47755096385014-π/2
    2.95510192770027-1.57079632675     		φ = 1.38430560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45175734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.883789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38430560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.314868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7014 KachelY 2013 -0.45175734 1.38430560 -25.883789 79.314868
    Oben rechts KachelX + 1 7015 KachelY 2013 -0.45137385 1.38430560 -25.861817 79.314868
    Unten links KachelX 7014 KachelY + 1 2014 -0.45175734 1.38423448 -25.883789 79.310794
    Unten rechts KachelX + 1 7015 KachelY + 1 2014 -0.45137385 1.38423448 -25.861817 79.310794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38430560-1.38423448) × R
    7.11200000000911e-05 × 6371000     		dl = 453.10552000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38430560-1.38423448) × R
    7.11200000000911e-05 × 6371000     		dr = 453.10552000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45175734--0.45137385) × cos(1.38430560) × R
    0.000383489999999986 × 0.18541161800276 × 6371000     		do = 453.000407342157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45175734--0.45137385) × cos(1.38423448) × R
    0.000383489999999986 × 0.185481504380165 × 6371000     		du = 453.171154773053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38430560)-sin(1.38423448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18541161800276-0.185481504380165)×R²
    abs(-0.45137385--0.45175734)×6.98863774052927e-05×R²
    0.000383489999999986×6.98863774052927e-05×6371000²
    0.000383489999999986×6.98863774052927e-05×40589641000000     		ar = 205295.668516859m²