Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7014 / 1694
↖ ↑ ↗
← N 80.539297°
W 25.883789°		 ← 401.59 m → N 80.539297°
W 25.861817°		 →
↑
401.63 m
↓
↑
401.63 m
↓
N 80.535685°
W 25.883789°		 ← 401.75 m →
161 322 m²		 N 80.535685°
W 25.861817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428131103515625 y=0.103424072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428131103515625 × 214)
    floor (0.428131103515625 × 16384)
    floor (7014.5)     		tx = 7014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103424072265625 × 214)
    floor (0.103424072265625 × 16384)
    floor (1694.5)     		ty = 1694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7014 / 1694 ti = "14/7014/1694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7014/1694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7014 ÷ 214
    7014 ÷ 16384     		x = 0.4281005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1694 ÷ 214
    1694 ÷ 16384     		y = 0.1033935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4281005859375 × 2 - 1) × π
    -0.143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45175734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1033935546875 × 2 - 1) × π
    0.793212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.491951789849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45175734} λ = -0.45175734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.491951789849))-π/2
    2×atan(12.0848401853133)-π/2
    2×1.48823612004029-π/2
    2.97647224008058-1.57079632675     		φ = 1.40567591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45175734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.883789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40567591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.539297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7014 KachelY 1694 -0.45175734 1.40567591 -25.883789 80.539297
    Oben rechts KachelX + 1 7015 KachelY 1694 -0.45137385 1.40567591 -25.861817 80.539297
    Unten links KachelX 7014 KachelY + 1 1695 -0.45175734 1.40561287 -25.883789 80.535685
    Unten rechts KachelX + 1 7015 KachelY + 1 1695 -0.45137385 1.40561287 -25.861817 80.535685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40567591-1.40561287) × R
    6.30400000001252e-05 × 6371000     		dl = 401.627840000798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40567591-1.40561287) × R
    6.30400000001252e-05 × 6371000     		dr = 401.627840000798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45175734--0.45137385) × cos(1.40567591) × R
    0.000383489999999986 × 0.164371111136126 × 6371000     		do = 401.593929776502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45175734--0.45137385) × cos(1.40561287) × R
    0.000383489999999986 × 0.164433293375294 × 6371000     		du = 401.745854342914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40567591)-sin(1.40561287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164371111136126-0.164433293375294)×R²
    abs(-0.45137385--0.45175734)×6.21822391685956e-05×R²
    0.000383489999999986×6.21822391685956e-05×6371000²
    0.000383489999999986×6.21822391685956e-05×40589641000000     		ar = 161321.811194933m²