Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7013 / 5563
↖ ↑ ↗
← N 49.908787°
W 25.905762°		 ← 1 573.49 m → N 49.908787°
W 25.883789°		 →
↑
1 573.70 m
↓
↑
1 573.70 m
↓
N 49.894634°
W 25.905762°		 ← 1 573.95 m →
2 476 561 m²		 N 49.894634°
W 25.883789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428070068359375 y=0.339569091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428070068359375 × 214)
    floor (0.428070068359375 × 16384)
    floor (7013.5)     		tx = 7013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339569091796875 × 214)
    floor (0.339569091796875 × 16384)
    floor (5563.5)     		ty = 5563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7013 / 5563 ti = "14/7013/5563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7013/5563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7013 ÷ 214
    7013 ÷ 16384     		x = 0.42803955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5563 ÷ 214
    5563 ÷ 16384     		y = 0.33953857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42803955078125 × 2 - 1) × π
    -0.1439208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45214084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33953857421875 × 2 - 1) × π
    0.3209228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00820887280902
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45214084} λ = -0.45214084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00820887280902))-π/2
    2×atan(2.74068769588664)-π/2
    2×1.22093449280901-π/2
    2.44186898561802-1.57079632675     		φ = 0.87107266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45214084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.905762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87107266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.908787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7013 KachelY 5563 -0.45214084 0.87107266 -25.905762 49.908787
    Oben rechts KachelX + 1 7014 KachelY 5563 -0.45175734 0.87107266 -25.883789 49.908787
    Unten links KachelX 7013 KachelY + 1 5564 -0.45214084 0.87082565 -25.905762 49.894634
    Unten rechts KachelX + 1 7014 KachelY + 1 5564 -0.45175734 0.87082565 -25.883789 49.894634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87107266-0.87082565) × R
    0.000247010000000047 × 6371000     		dl = 1573.7007100003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87107266-0.87082565) × R
    0.000247010000000047 × 6371000     		dr = 1573.7007100003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45214084--0.45175734) × cos(0.87107266) × R
    0.000383499999999981 × 0.644006311351126 × 6371000     		do = 1573.48677438843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45214084--0.45175734) × cos(0.87082565) × R
    0.000383499999999981 × 0.644195259336399 × 6371000     		du = 1573.94842693847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87107266)-sin(0.87082565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644006311351126-0.644195259336399)×R²
    abs(-0.45175734--0.45214084)×0.000188947985273358×R²
    0.000383499999999981×0.000188947985273358×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188947985273358×40589641000000     		ar = 2476560.5180959m²