Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70128 / 95824
↖ ↑ ↗
← S 63.646259°
E 12.612305°		 ← 135.58 m → S 63.646259°
E 12.615051°		 →
↑
135.57 m
↓
↑
135.57 m
↓
S 63.647478°
E 12.612305°		 ← 135.58 m →
18 381 m²		 S 63.647478°
E 12.615051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535037994384766 y=0.731082916259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535037994384766 × 217)
    floor (0.535037994384766 × 131072)
    floor (70128.5)     		tx = 70128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731082916259766 × 217)
    floor (0.731082916259766 × 131072)
    floor (95824.5)     		ty = 95824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70128 / 95824 ti = "17/70128/95824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70128/95824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70128 ÷ 217
    70128 ÷ 131072     		x = 0.5350341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95824 ÷ 217
    95824 ÷ 131072     		y = 0.7310791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5350341796875 × 2 - 1) × π
    0.070068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22012624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7310791015625 × 2 - 1) × π
    -0.462158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45191281569226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22012624} λ = 0.22012624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45191281569226))-π/2
    2×atan(0.234122027222685)-π/2
    2×0.22997977364211-π/2
    0.459959547284219-1.57079632675     		φ = -1.11083678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22012624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.612305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11083678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.646259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70128 KachelY 95824 0.22012624 -1.11083678 12.612305 -63.646259
    Oben rechts KachelX + 1 70129 KachelY 95824 0.22017418 -1.11083678 12.615051 -63.646259
    Unten links KachelX 70128 KachelY + 1 95825 0.22012624 -1.11085806 12.612305 -63.647478
    Unten rechts KachelX + 1 70129 KachelY + 1 95825 0.22017418 -1.11085806 12.615051 -63.647478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11083678--1.11085806) × R
    2.12799999999014e-05 × 6371000     		dl = 135.574879999372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11083678--1.11085806) × R
    2.12799999999014e-05 × 6371000     		dr = 135.574879999372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22012624-0.22017418) × cos(-1.11083678) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.443911858406812 × 6371000     		do = 135.582107848665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22012624-0.22017418) × cos(-1.11085806) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.443892789927001 × 6371000     		du = 135.576283844108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11083678)-sin(-1.11085806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443911858406812-0.443892789927001)×R²
    abs(0.22017418-0.22012624)×1.90684798105356e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.90684798105356e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.90684798105356e-05×40589641000000     		ar = 18381.1332080079m²