Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7012 / 5555
↖ ↑ ↗
← N 50.021859°
W 25.927734°		 ← 1 569.75 m → N 50.021859°
W 25.905762°		 →
↑
1 570.01 m
↓
↑
1 570.01 m
↓
N 50.007739°
W 25.927734°		 ← 1 570.22 m →
2 464 885 m²		 N 50.007739°
W 25.905762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428009033203125 y=0.339080810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428009033203125 × 214)
    floor (0.428009033203125 × 16384)
    floor (7012.5)     		tx = 7012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339080810546875 × 214)
    floor (0.339080810546875 × 16384)
    floor (5555.5)     		ty = 5555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7012 / 5555 ti = "14/7012/5555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7012/5555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7012 ÷ 214
    7012 ÷ 16384     		x = 0.427978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5555 ÷ 214
    5555 ÷ 16384     		y = 0.33905029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427978515625 × 2 - 1) × π
    -0.14404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45252433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33905029296875 × 2 - 1) × π
    0.3218994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0112768343847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45252433} λ = -0.45252433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0112768343847))-π/2
    2×atan(2.7491089318374)-π/2
    2×1.22192122706612-π/2
    2.44384245413223-1.57079632675     		φ = 0.87304613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45252433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87304613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.021859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7012 KachelY 5555 -0.45252433 0.87304613 -25.927734 50.021859
    Oben rechts KachelX + 1 7013 KachelY 5555 -0.45214084 0.87304613 -25.905762 50.021859
    Unten links KachelX 7012 KachelY + 1 5556 -0.45252433 0.87279970 -25.927734 50.007739
    Unten rechts KachelX + 1 7013 KachelY + 1 5556 -0.45214084 0.87279970 -25.905762 50.007739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87304613-0.87279970) × R
    0.00024643000000002 × 6371000     		dl = 1570.00553000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87304613-0.87279970) × R
    0.00024643000000002 × 6371000     		dr = 1570.00553000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45252433--0.45214084) × cos(0.87304613) × R
    0.000383489999999986 × 0.64249531389487 × 6371000     		do = 1569.75405341358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45252433--0.45214084) × cos(0.87279970) × R
    0.000383489999999986 × 0.642684131133747 × 6371000     		du = 1570.21537448421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87304613)-sin(0.87279970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64249531389487-0.642684131133747)×R²
    abs(-0.45214084--0.45252433)×0.000188817238876204×R²
    0.000383489999999986×0.000188817238876204×6371000²
    0.000383489999999986×0.000188817238876204×40589641000000     		ar = 2464884.69538928m²