Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7012 / 1891
↖ ↑ ↗
← N 79.800636°
W 25.927734°		 ← 432.63 m → N 79.800636°
W 25.905762°		 →
↑
432.72 m
↓
↑
432.72 m
↓
N 79.796745°
W 25.927734°		 ← 432.79 m →
187 242 m²		 N 79.796745°
W 25.905762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428009033203125 y=0.115447998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428009033203125 × 214)
    floor (0.428009033203125 × 16384)
    floor (7012.5)     		tx = 7012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115447998046875 × 214)
    floor (0.115447998046875 × 16384)
    floor (1891.5)     		ty = 1891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7012 / 1891 ti = "14/7012/1891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7012/1891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7012 ÷ 214
    7012 ÷ 16384     		x = 0.427978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1891 ÷ 214
    1891 ÷ 16384     		y = 0.11541748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427978515625 × 2 - 1) × π
    -0.14404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45252433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11541748046875 × 2 - 1) × π
    0.7691650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41640323604779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45252433} λ = -0.45252433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41640323604779))-π/2
    2×atan(11.2054832685682)-π/2
    2×1.48179008967292-π/2
    2.96358017934585-1.57079632675     		φ = 1.39278385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45252433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39278385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.800636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7012 KachelY 1891 -0.45252433 1.39278385 -25.927734 79.800636
    Oben rechts KachelX + 1 7013 KachelY 1891 -0.45214084 1.39278385 -25.905762 79.800636
    Unten links KachelX 7012 KachelY + 1 1892 -0.45252433 1.39271593 -25.927734 79.796745
    Unten rechts KachelX + 1 7013 KachelY + 1 1892 -0.45214084 1.39271593 -25.905762 79.796745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39278385-1.39271593) × R
    6.79199999999991e-05 × 6371000     		dl = 432.718319999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39278385-1.39271593) × R
    6.79199999999991e-05 × 6371000     		dr = 432.718319999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45252433--0.45214084) × cos(1.39278385) × R
    0.000383489999999986 × 0.177073808938072 × 6371000     		do = 432.629348919117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45252433--0.45214084) × cos(1.39271593) × R
    0.000383489999999986 × 0.177140655228867 × 6371000     		du = 432.792668765444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39278385)-sin(1.39271593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177073808938072-0.177140655228867)×R²
    abs(-0.45214084--0.45252433)×6.68462907952028e-05×R²
    0.000383489999999986×6.68462907952028e-05×6371000²
    0.000383489999999986×6.68462907952028e-05×40589641000000     		ar = 187241.980862187m²