Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70112 / 95710
↖ ↑ ↗
← S 63.506925°
E 12.568359°		 ← 136.25 m → S 63.506925°
E 12.571106°		 →
↑
136.21 m
↓
↑
136.21 m
↓
S 63.508150°
E 12.568359°		 ← 136.24 m →
18 558 m²		 S 63.508150°
E 12.571106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534915924072266 y=0.730213165283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534915924072266 × 217)
    floor (0.534915924072266 × 131072)
    floor (70112.5)     		tx = 70112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730213165283203 × 217)
    floor (0.730213165283203 × 131072)
    floor (95710.5)     		ty = 95710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70112 / 95710 ti = "17/70112/95710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70112/95710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70112 ÷ 217
    70112 ÷ 131072     		x = 0.534912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95710 ÷ 217
    95710 ÷ 131072     		y = 0.730209350585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534912109375 × 2 - 1) × π
    0.06982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.21935925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730209350585938 × 2 - 1) × π
    -0.460418701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44644800913557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21935925} λ = 0.21935925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44644800913557))-π/2
    2×atan(0.235404961112077)-π/2
    2×0.231195693325907-π/2
    0.462391386651814-1.57079632675     		φ = -1.10840494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21935925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.568359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10840494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.506925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70112 KachelY 95710 0.21935925 -1.10840494 12.568359 -63.506925
    Oben rechts KachelX + 1 70113 KachelY 95710 0.21940719 -1.10840494 12.571106 -63.506925
    Unten links KachelX 70112 KachelY + 1 95711 0.21935925 -1.10842632 12.568359 -63.508150
    Unten rechts KachelX + 1 70113 KachelY + 1 95711 0.21940719 -1.10842632 12.571106 -63.508150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10840494--1.10842632) × R
    2.13799999999598e-05 × 6371000     		dl = 136.211979999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10840494--1.10842632) × R
    2.13799999999598e-05 × 6371000     		dr = 136.211979999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21935925-0.21940719) × cos(-1.10840494) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.446089643624028 × 6371000     		do = 136.247259510194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21935925-0.21940719) × cos(-1.10842632) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.446070508672546 × 6371000     		du = 136.241415203478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10840494)-sin(-1.10842632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446089643624028-0.446070508672546)×R²
    abs(0.21940719-0.21935925)×1.91349514813699e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.91349514813699e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.91349514813699e-05×40589641000000     		ar = 18558.1109557293m²