Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70111 / 95713
↖ ↑ ↗
← S 63.510601°
E 12.565613°		 ← 136.20 m → S 63.510601°
E 12.568359°		 →
↑
136.21 m
↓
↑
136.21 m
↓
S 63.511826°
E 12.565613°		 ← 136.20 m →
18 552 m²		 S 63.511826°
E 12.568359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534908294677734 y=0.730236053466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534908294677734 × 217)
    floor (0.534908294677734 × 131072)
    floor (70111.5)     		tx = 70111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730236053466797 × 217)
    floor (0.730236053466797 × 131072)
    floor (95713.5)     		ty = 95713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70111 / 95713 ti = "17/70111/95713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70111/95713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70111 ÷ 217
    70111 ÷ 131072     		x = 0.534904479980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95713 ÷ 217
    95713 ÷ 131072     		y = 0.730232238769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534904479980469 × 2 - 1) × π
    0.0698089599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21931132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730232238769531 × 2 - 1) × π
    -0.460464477539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.44659181983443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21931132} λ = 0.21931132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44659181983443))-π/2
    2×atan(0.235371109794253)-π/2
    2×0.231163619158396-π/2
    0.462327238316792-1.57079632675     		φ = -1.10846909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21931132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.565613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10846909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.510601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70111 KachelY 95713 0.21931132 -1.10846909 12.565613 -63.510601
    Oben rechts KachelX + 1 70112 KachelY 95713 0.21935925 -1.10846909 12.568359 -63.510601
    Unten links KachelX 70111 KachelY + 1 95714 0.21931132 -1.10849047 12.565613 -63.511826
    Unten rechts KachelX + 1 70112 KachelY + 1 95714 0.21935925 -1.10849047 12.568359 -63.511826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10846909--1.10849047) × R
    2.13799999999598e-05 × 6371000     		dl = 136.211979999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10846909--1.10849047) × R
    2.13799999999598e-05 × 6371000     		dr = 136.211979999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21931132-0.21935925) × cos(-1.10846909) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.446032229207721 × 6371000     		do = 136.201306956299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21931132-0.21935925) × cos(-1.10849047) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.446013093644468 × 6371000     		du = 136.195463681859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10846909)-sin(-1.10849047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446032229207721-0.446013093644468)×R²
    abs(0.21935925-0.21931132)×1.91355632528367e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.91355632528367e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.91355632528367e-05×40589641000000     		ar = 18551.8517377076m²