Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7011 / 2397
↖ ↑ ↗
← N 77.631836°
W 25.949707°		 ← 523.33 m → N 77.631836°
W 25.927734°		 →
↑
523.38 m
↓
↑
523.38 m
↓
N 77.627129°
W 25.949707°		 ← 523.53 m →
273 952 m²		 N 77.627129°
W 25.927734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427947998046875 y=0.146331787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427947998046875 × 214)
    floor (0.427947998046875 × 16384)
    floor (7011.5)     		tx = 7011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146331787109375 × 214)
    floor (0.146331787109375 × 16384)
    floor (2397.5)     		ty = 2397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7011 / 2397 ti = "14/7011/2397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7011/2397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7011 ÷ 214
    7011 ÷ 16384     		x = 0.42791748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2397 ÷ 214
    2397 ÷ 16384     		y = 0.14630126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42791748046875 × 2 - 1) × π
    -0.1441650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45290783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14630126953125 × 2 - 1) × π
    0.7073974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2223546663858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45290783} λ = -0.45290783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2223546663858))-π/2
    2×atan(9.2290366032313)-π/2
    2×1.46286373581692-π/2
    2.92572747163384-1.57079632675     		φ = 1.35493114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45290783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.949707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35493114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.631836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7011 KachelY 2397 -0.45290783 1.35493114 -25.949707 77.631836
    Oben rechts KachelX + 1 7012 KachelY 2397 -0.45252433 1.35493114 -25.927734 77.631836
    Unten links KachelX 7011 KachelY + 1 2398 -0.45290783 1.35484899 -25.949707 77.627129
    Unten rechts KachelX + 1 7012 KachelY + 1 2398 -0.45252433 1.35484899 -25.927734 77.627129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35493114-1.35484899) × R
    8.2149999999892e-05 × 6371000     		dl = 523.377649999312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35493114-1.35484899) × R
    8.2149999999892e-05 × 6371000     		dr = 523.377649999312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45290783--0.45252433) × cos(1.35493114) × R
    0.000383500000000037 × 0.214192615420111 × 6371000     		do = 523.332212114776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45290783--0.45252433) × cos(1.35484899) × R
    0.000383500000000037 × 0.214272858114327 × 6371000     		du = 523.528267364335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35493114)-sin(1.35484899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214192615420111-0.214272858114327)×R²
    abs(-0.45252433--0.45290783)×8.02426942155821e-05×R²
    0.000383500000000037×8.02426942155821e-05×6371000²
    0.000383500000000037×8.02426942155821e-05×40589641000000     		ar = 273951.688967617m²