Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70105 / 95707
↖ ↑ ↗
← S 63.503249°
E 12.549133°		 ← 136.26 m → S 63.503249°
E 12.551880°		 →
↑
136.28 m
↓
↑
136.28 m
↓
S 63.504475°
E 12.549133°		 ← 136.26 m →
18 569 m²		 S 63.504475°
E 12.551880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534862518310547 y=0.730190277099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534862518310547 × 217)
    floor (0.534862518310547 × 131072)
    floor (70105.5)     		tx = 70105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730190277099609 × 217)
    floor (0.730190277099609 × 131072)
    floor (95707.5)     		ty = 95707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70105 / 95707 ti = "17/70105/95707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70105/95707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70105 ÷ 217
    70105 ÷ 131072     		x = 0.534858703613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95707 ÷ 217
    95707 ÷ 131072     		y = 0.730186462402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534858703613281 × 2 - 1) × π
    0.0697174072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.21902369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730186462402344 × 2 - 1) × π
    -0.460372924804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.44630419843671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21902369} λ = 0.21902369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44630419843671))-π/2
    2×atan(0.235438817298432)-π/2
    2×0.231227771621914-π/2
    0.462455543243829-1.57079632675     		φ = -1.10834078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21902369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.549133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10834078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.503249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70105 KachelY 95707 0.21902369 -1.10834078 12.549133 -63.503249
    Oben rechts KachelX + 1 70106 KachelY 95707 0.21907163 -1.10834078 12.551880 -63.503249
    Unten links KachelX 70105 KachelY + 1 95708 0.21902369 -1.10836217 12.549133 -63.504475
    Unten rechts KachelX + 1 70106 KachelY + 1 95708 0.21907163 -1.10836217 12.551880 -63.504475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10834078--1.10836217) × R
    2.1389999999899e-05 × 6371000     		dl = 136.275689999356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10834078--1.10836217) × R
    2.1389999999899e-05 × 6371000     		dr = 136.275689999356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21902369-0.21907163) × cos(-1.10834078) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.446147065154173 × 6371000     		do = 136.264797523531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21902369-0.21907163) × cos(-1.10836217) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.446127921864945 × 6371000     		du = 136.258950670253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10834078)-sin(-1.10836217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446147065154173-0.446127921864945)×R²
    abs(0.21907163-0.21902369)×1.91432892276966e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.91432892276966e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.91432892276966e-05×40589641000000     		ar = 18569.1809139583m²