Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7010 / 5558
↖ ↑ ↗
← N 49.979488°
W 25.971680°		 ← 1 571.14 m → N 49.979488°
W 25.949707°		 →
↑
1 571.41 m
↓
↑
1 571.41 m
↓
N 49.965356°
W 25.971680°		 ← 1 571.60 m →
2 469 260 m²		 N 49.965356°
W 25.949707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427886962890625 y=0.339263916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427886962890625 × 214)
    floor (0.427886962890625 × 16384)
    floor (7010.5)     		tx = 7010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339263916015625 × 214)
    floor (0.339263916015625 × 16384)
    floor (5558.5)     		ty = 5558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7010 / 5558 ti = "14/7010/5558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7010/5558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7010 ÷ 214
    7010 ÷ 16384     		x = 0.4278564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5558 ÷ 214
    5558 ÷ 16384     		y = 0.3392333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4278564453125 × 2 - 1) × π
    -0.144287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45329132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3392333984375 × 2 - 1) × π
    0.321533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01012634879382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45329132} λ = -0.45329132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01012634879382))-π/2
    2×atan(2.74594794030982)-π/2
    2×1.22155147333375-π/2
    2.4431029466675-1.57079632675     		φ = 0.87230662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45329132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.971680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87230662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.979488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7010 KachelY 5558 -0.45329132 0.87230662 -25.971680 49.979488
    Oben rechts KachelX + 1 7011 KachelY 5558 -0.45290783 0.87230662 -25.949707 49.979488
    Unten links KachelX 7010 KachelY + 1 5559 -0.45329132 0.87205997 -25.971680 49.965356
    Unten rechts KachelX + 1 7011 KachelY + 1 5559 -0.45290783 0.87205997 -25.949707 49.965356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87230662-0.87205997) × R
    0.000246650000000015 × 6371000     		dl = 1571.4071500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87230662-0.87205997) × R
    0.000246650000000015 × 6371000     		dr = 1571.4071500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45329132--0.45290783) × cos(0.87230662) × R
    0.000383489999999986 × 0.643061816992917 × 6371000     		do = 1571.13814216131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45329132--0.45290783) × cos(0.87205997) × R
    0.000383489999999986 × 0.643250685520518 × 6371000     		du = 1571.59958854131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87230662)-sin(0.87205997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643061816992917-0.643250685520518)×R²
    abs(-0.45290783--0.45329132)×0.000188868527600472×R²
    0.000383489999999986×0.000188868527600472×6371000²
    0.000383489999999986×0.000188868527600472×40589641000000     		ar = 2469260.28281923m²