Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7010 / 1751
↖ ↑ ↗
← N 80.331197°
W 25.971680°		 ← 410.34 m → N 80.331197°
W 25.949707°		 →
↑
410.42 m
↓
↑
410.42 m
↓
N 80.327506°
W 25.971680°		 ← 410.50 m →
168 445 m²		 N 80.327506°
W 25.949707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427886962890625 y=0.106903076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427886962890625 × 214)
    floor (0.427886962890625 × 16384)
    floor (7010.5)     		tx = 7010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106903076171875 × 214)
    floor (0.106903076171875 × 16384)
    floor (1751.5)     		ty = 1751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7010 / 1751 ti = "14/7010/1751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7010/1751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7010 ÷ 214
    7010 ÷ 16384     		x = 0.4278564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1751 ÷ 214
    1751 ÷ 16384     		y = 0.10687255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4278564453125 × 2 - 1) × π
    -0.144287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45329132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10687255859375 × 2 - 1) × π
    0.7862548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47009256362225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45329132} λ = -0.45329132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47009256362225))-π/2
    2×atan(11.8235412307999)-π/2
    2×1.48642010331583-π/2
    2.97284020663166-1.57079632675     		φ = 1.40204388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45329132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.971680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40204388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.331197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7010 KachelY 1751 -0.45329132 1.40204388 -25.971680 80.331197
    Oben rechts KachelX + 1 7011 KachelY 1751 -0.45290783 1.40204388 -25.949707 80.331197
    Unten links KachelX 7010 KachelY + 1 1752 -0.45329132 1.40197946 -25.971680 80.327506
    Unten rechts KachelX + 1 7011 KachelY + 1 1752 -0.45290783 1.40197946 -25.949707 80.327506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40204388-1.40197946) × R
    6.4419999999954e-05 × 6371000     		dl = 410.419819999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40204388-1.40197946) × R
    6.4419999999954e-05 × 6371000     		dr = 410.419819999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45329132--0.45290783) × cos(1.40204388) × R
    0.000383489999999986 × 0.167952648294329 × 6371000     		do = 410.344394332357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45329132--0.45290783) × cos(1.40197946) × R
    0.000383489999999986 × 0.168016152863802 × 6371000     		du = 410.499549635728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40204388)-sin(1.40197946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167952648294329-0.168016152863802)×R²
    abs(-0.45290783--0.45329132)×6.35045694735159e-05×R²
    0.000383489999999986×6.35045694735159e-05×6371000²
    0.000383489999999986×6.35045694735159e-05×40589641000000     		ar = 168445.311923657m²