Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 701 / 1495
↖ ↑ ↗
← S 63.470145°
W 56.777344°		 ← 8 730.48 m → S 63.470145°
W 56.601563°		 →
↑
8 718.52 m
↓
↑
8 718.52 m
↓
S 63.548552°
W 56.777344°		 ← 8 706.54 m →
76 012 574 m²		 S 63.548552°
W 56.601563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342529296875 y=0.730224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342529296875 × 211)
    floor (0.342529296875 × 2048)
    floor (701.5)     		tx = 701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730224609375 × 211)
    floor (0.730224609375 × 2048)
    floor (1495.5)     		ty = 1495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 701 / 1495 ti = "11/701/1495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/701/1495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 701 ÷ 211
    701 ÷ 2048     		x = 0.34228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1495 ÷ 211
    1495 ÷ 2048     		y = 0.72998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34228515625 × 2 - 1) × π
    -0.3154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.99095159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72998046875 × 2 - 1) × π
    -0.4599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44500990214697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99095159} λ = -0.99095159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44500990214697))-π/2
    2×atan(0.235743742175123)-π/2
    2×0.231516662134198-π/2
    0.463033324268396-1.57079632675     		φ = -1.10776300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99095159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.777344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10776300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.470145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 701 KachelY 1495 -0.99095159 -1.10776300 -56.777344 -63.470145
    Oben rechts KachelX + 1 702 KachelY 1495 -0.98788363 -1.10776300 -56.601563 -63.470145
    Unten links KachelX 701 KachelY + 1 1496 -0.99095159 -1.10913147 -56.777344 -63.548552
    Unten rechts KachelX + 1 702 KachelY + 1 1496 -0.98788363 -1.10913147 -56.601563 -63.548552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10776300--1.10913147) × R
    0.00136846999999984 × 6371000     		dl = 8718.52236999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10776300--1.10913147) × R
    0.00136846999999984 × 6371000     		dr = 8718.52236999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99095159--0.98788363) × cos(-1.10776300) × R
    0.00306795999999998 × 0.446664080450225 × 6371000     		do = 8730.48412801612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99095159--0.98788363) × cos(-1.10913147) × R
    0.00306795999999998 × 0.445439290109431 × 6371000     		du = 8706.54440888835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10776300)-sin(-1.10913147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446664080450225-0.445439290109431)×R²
    abs(-0.98788363--0.99095159)×0.00122479034079342×R²
    0.00306795999999998×0.00122479034079342×6371000²
    0.00306795999999998×0.00122479034079342×40589641000000     		ar = 76012573.5451074m²