Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70096 / 96660
↖ ↑ ↗
← S 64.647408°
E 12.524414°		 ← 130.78 m → S 64.647408°
E 12.527161°		 →
↑
130.80 m
↓
↑
130.80 m
↓
S 64.648585°
E 12.524414°		 ← 130.77 m →
17 105 m²		 S 64.648585°
E 12.527161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534793853759766 y=0.737461090087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534793853759766 × 217)
    floor (0.534793853759766 × 131072)
    floor (70096.5)     		tx = 70096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737461090087891 × 217)
    floor (0.737461090087891 × 131072)
    floor (96660.5)     		ty = 96660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70096 / 96660 ti = "17/70096/96660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70096/96660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70096 ÷ 217
    70096 ÷ 131072     		x = 0.5347900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96660 ÷ 217
    96660 ÷ 131072     		y = 0.737457275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5347900390625 × 2 - 1) × π
    0.069580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.21859226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.47491455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49198806377463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21859226} λ = 0.21859226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49198806377463))-π/2
    2×atan(0.224925045413335)-π/2
    2×0.22124309834804-π/2
    0.44248619669608-1.57079632675     		φ = -1.12831013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21859226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.524414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12831013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.647408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70096 KachelY 96660 0.21859226 -1.12831013 12.524414 -64.647408
    Oben rechts KachelX + 1 70097 KachelY 96660 0.21864020 -1.12831013 12.527161 -64.647408
    Unten links KachelX 70096 KachelY + 1 96661 0.21859226 -1.12833066 12.524414 -64.648585
    Unten rechts KachelX + 1 70097 KachelY + 1 96661 0.21864020 -1.12833066 12.527161 -64.648585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12831013--1.12833066) × R
    2.05300000000186e-05 × 6371000     		dl = 130.796630000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12831013--1.12833066) × R
    2.05300000000186e-05 × 6371000     		dr = 130.796630000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21859226-0.21864020) × cos(-1.12831013) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42818753703156 × 6371000     		do = 130.779495356632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21859226-0.21864020) × cos(-1.12833066) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428168984187703 × 6371000     		du = 130.773828840567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12831013)-sin(-1.12833066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42818753703156-0.428168984187703)×R²
    abs(0.21864020-0.21859226)×1.85528438568228e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85528438568228e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85528438568228e-05×40589641000000     		ar = 17105.1466857045m²