Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7009 / 5473
↖ ↑ ↗
← N 51.165567°
W 25.993652°		 ← 1 532.11 m → N 51.165567°
W 25.971680°		 →
↑
1 532.29 m
↓
↑
1 532.29 m
↓
N 51.151786°
W 25.993652°		 ← 1 532.57 m →
2 347 989 m²		 N 51.151786°
W 25.971680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427825927734375 y=0.334075927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427825927734375 × 214)
    floor (0.427825927734375 × 16384)
    floor (7009.5)     		tx = 7009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334075927734375 × 214)
    floor (0.334075927734375 × 16384)
    floor (5473.5)     		ty = 5473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7009 / 5473 ti = "14/7009/5473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7009/5473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7009 ÷ 214
    7009 ÷ 16384     		x = 0.42779541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5473 ÷ 214
    5473 ÷ 16384     		y = 0.33404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42779541015625 × 2 - 1) × π
    -0.1444091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45367482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33404541015625 × 2 - 1) × π
    0.3319091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04272344053546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45367482} λ = -0.45367482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04272344053546))-π/2
    2×atan(2.8369327205165)-π/2
    2×1.23190196378303-π/2
    2.46380392756606-1.57079632675     		φ = 0.89300760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45367482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.993652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89300760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.165567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7009 KachelY 5473 -0.45367482 0.89300760 -25.993652 51.165567
    Oben rechts KachelX + 1 7010 KachelY 5473 -0.45329132 0.89300760 -25.971680 51.165567
    Unten links KachelX 7009 KachelY + 1 5474 -0.45367482 0.89276709 -25.993652 51.151786
    Unten rechts KachelX + 1 7010 KachelY + 1 5474 -0.45329132 0.89276709 -25.971680 51.151786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89300760-0.89276709) × R
    0.000240510000000027 × 6371000     		dl = 1532.28921000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89300760-0.89276709) × R
    0.000240510000000027 × 6371000     		dr = 1532.28921000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45367482--0.45329132) × cos(0.89300760) × R
    0.000383499999999981 × 0.627072062388554 × 6371000     		do = 1532.11168798454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45367482--0.45329132) × cos(0.89276709) × R
    0.000383499999999981 × 0.627259392220409 × 6371000     		du = 1532.56938693512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89300760)-sin(0.89276709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627072062388554-0.627259392220409)×R²
    abs(-0.45329132--0.45367482)×0.000187329831854433×R²
    0.000383499999999981×0.000187329831854433×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187329831854433×40589641000000     		ar = 2347988.88291363m²