Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7008 / 5535
↖ ↑ ↗
← N 50.303376°
W 26.015625°		 ← 1 560.54 m → N 50.303376°
W 25.993652°		 →
↑
1 560.77 m
↓
↑
1 560.77 m
↓
N 50.289339°
W 26.015625°		 ← 1 561 m →
2 435 994 m²		 N 50.289339°
W 25.993652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427764892578125 y=0.337860107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427764892578125 × 214)
    floor (0.427764892578125 × 16384)
    floor (7008.5)     		tx = 7008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337860107421875 × 214)
    floor (0.337860107421875 × 16384)
    floor (5535.5)     		ty = 5535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7008 / 5535 ti = "14/7008/5535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7008/5535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7008 ÷ 214
    7008 ÷ 16384     		x = 0.427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5535 ÷ 214
    5535 ÷ 16384     		y = 0.33782958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427734375 × 2 - 1) × π
    -0.14453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45405831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33782958984375 × 2 - 1) × π
    0.3243408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01894673832391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45405831} λ = -0.45405831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01894673832391))-π/2
    2×atan(2.77027540189507)-π/2
    2×1.22437792927193-π/2
    2.44875585854385-1.57079632675     		φ = 0.87795953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45405831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87795953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.303376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7008 KachelY 5535 -0.45405831 0.87795953 -26.015625 50.303376
    Oben rechts KachelX + 1 7009 KachelY 5535 -0.45367482 0.87795953 -25.993652 50.303376
    Unten links KachelX 7008 KachelY + 1 5536 -0.45405831 0.87771455 -26.015625 50.289339
    Unten rechts KachelX + 1 7009 KachelY + 1 5536 -0.45367482 0.87771455 -25.993652 50.289339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87795953-0.87771455) × R
    0.000244980000000061 × 6371000     		dl = 1560.76758000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87795953-0.87771455) × R
    0.000244980000000061 × 6371000     		dr = 1560.76758000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45405831--0.45367482) × cos(0.87795953) × R
    0.000383490000000042 × 0.63872248627289 × 6371000     		do = 1560.53622516767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45405831--0.45367482) × cos(0.87771455) × R
    0.000383490000000042 × 0.638910963826672 × 6371000     		du = 1560.99671631465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87795953)-sin(0.87771455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63872248627289-0.638910963826672)×R²
    abs(-0.45367482--0.45405831)×0.000188477553782929×R²
    0.000383490000000042×0.000188477553782929×6371000²
    0.000383490000000042×0.000188477553782929×40589641000000     		ar = 2435993.71966791m²