Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7008 / 5484
↖ ↑ ↗
← N 51.013755°
W 26.015625°		 ← 1 537.11 m → N 51.013755°
W 25.993652°		 →
↑
1 537.32 m
↓
↑
1 537.32 m
↓
N 50.999929°
W 26.015625°		 ← 1 537.57 m →
2 363 384 m²		 N 50.999929°
W 25.993652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427764892578125 y=0.334747314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427764892578125 × 214)
    floor (0.427764892578125 × 16384)
    floor (7008.5)     		tx = 7008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334747314453125 × 214)
    floor (0.334747314453125 × 16384)
    floor (5484.5)     		ty = 5484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7008 / 5484 ti = "14/7008/5484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7008/5484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7008 ÷ 214
    7008 ÷ 16384     		x = 0.427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5484 ÷ 214
    5484 ÷ 16384     		y = 0.334716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427734375 × 2 - 1) × π
    -0.14453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45405831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334716796875 × 2 - 1) × π
    0.33056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0385049933689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45405831} λ = -0.45405831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0385049933689))-π/2
    2×atan(2.82499047629269)-π/2
    2×1.23057715467437-π/2
    2.46115430934875-1.57079632675     		φ = 0.89035798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45405831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89035798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.013755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7008 KachelY 5484 -0.45405831 0.89035798 -26.015625 51.013755
    Oben rechts KachelX + 1 7009 KachelY 5484 -0.45367482 0.89035798 -25.993652 51.013755
    Unten links KachelX 7008 KachelY + 1 5485 -0.45405831 0.89011668 -26.015625 50.999929
    Unten rechts KachelX + 1 7009 KachelY + 1 5485 -0.45367482 0.89011668 -25.993652 50.999929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89035798-0.89011668) × R
    0.0002413 × 6371000     		dl = 1537.3223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89035798-0.89011668) × R
    0.0002413 × 6371000     		dr = 1537.3223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45405831--0.45367482) × cos(0.89035798) × R
    0.000383490000000042 × 0.629133810105984 × 6371000     		do = 1537.10902974016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45405831--0.45367482) × cos(0.89011668) × R
    0.000383490000000042 × 0.629321353557924 × 6371000     		du = 1537.56723867571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89035798)-sin(0.89011668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629133810105984-0.629321353557924)×R²
    abs(-0.45367482--0.45405831)×0.000187543451939498×R²
    0.000383490000000042×0.000187543451939498×6371000²
    0.000383490000000042×0.000187543451939498×40589641000000     		ar = 2363384.20782551m²