Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7008 / 3643
↖ ↑ ↗
← N 70.177653°
W 26.015625°		 ← 828.51 m → N 70.177653°
W 25.993652°		 →
↑
828.68 m
↓
↑
828.68 m
↓
N 70.170201°
W 26.015625°		 ← 828.80 m →
686 687 m²		 N 70.170201°
W 25.993652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427764892578125 y=0.222381591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427764892578125 × 214)
    floor (0.427764892578125 × 16384)
    floor (7008.5)     		tx = 7008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222381591796875 × 214)
    floor (0.222381591796875 × 16384)
    floor (3643.5)     		ty = 3643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7008 / 3643 ti = "14/7008/3643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7008/3643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7008 ÷ 214
    7008 ÷ 16384     		x = 0.427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3643 ÷ 214
    3643 ÷ 16384     		y = 0.22235107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427734375 × 2 - 1) × π
    -0.14453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45405831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22235107421875 × 2 - 1) × π
    0.5552978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74451965097308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45405831} λ = -0.45405831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74451965097308))-π/2
    2×atan(5.72315170469709)-π/2
    2×1.3978137170362-π/2
    2.7956274340724-1.57079632675     		φ = 1.22483111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45405831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22483111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.177653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7008 KachelY 3643 -0.45405831 1.22483111 -26.015625 70.177653
    Oben rechts KachelX + 1 7009 KachelY 3643 -0.45367482 1.22483111 -25.993652 70.177653
    Unten links KachelX 7008 KachelY + 1 3644 -0.45405831 1.22470104 -26.015625 70.170201
    Unten rechts KachelX + 1 7009 KachelY + 1 3644 -0.45367482 1.22470104 -25.993652 70.170201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22483111-1.22470104) × R
    0.000130069999999982 × 6371000     		dl = 828.675969999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22483111-1.22470104) × R
    0.000130069999999982 × 6371000     		dr = 828.675969999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45405831--0.45367482) × cos(1.22483111) × R
    0.000383490000000042 × 0.339104861399521 × 6371000     		do = 828.5060127323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45405831--0.45367482) × cos(1.22470104) × R
    0.000383490000000042 × 0.339227221698606 × 6371000     		du = 828.804965224734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22483111)-sin(1.22470104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339104861399521-0.339227221698606)×R²
    abs(-0.45367482--0.45405831)×0.000122360299085078×R²
    0.000383490000000042×0.000122360299085078×6371000²
    0.000383490000000042×0.000122360299085078×40589641000000     		ar = 686686.892093184m²