Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70079 / 96651
↖ ↑ ↗
← S 64.636822°
E 12.477722°		 ← 130.83 m → S 64.636822°
E 12.480469°		 →
↑
130.80 m
↓
↑
130.80 m
↓
S 64.637998°
E 12.477722°		 ← 130.82 m →
17 112 m²		 S 64.637998°
E 12.480469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534664154052734 y=0.737392425537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534664154052734 × 217)
    floor (0.534664154052734 × 131072)
    floor (70079.5)     		tx = 70079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737392425537109 × 217)
    floor (0.737392425537109 × 131072)
    floor (96651.5)     		ty = 96651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70079 / 96651 ti = "17/70079/96651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70079/96651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70079 ÷ 217
    70079 ÷ 131072     		x = 0.534660339355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96651 ÷ 217
    96651 ÷ 131072     		y = 0.737388610839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534660339355469 × 2 - 1) × π
    0.0693206787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21777733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737388610839844 × 2 - 1) × π
    -0.474777221679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.49155663167805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21777733} λ = 0.21777733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49155663167805))-π/2
    2×atan(0.225022106233322)-π/2
    2×0.221335483279297-π/2
    0.442670966558595-1.57079632675     		φ = -1.12812536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21777733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.477722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12812536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.636822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70079 KachelY 96651 0.21777733 -1.12812536 12.477722 -64.636822
    Oben rechts KachelX + 1 70080 KachelY 96651 0.21782527 -1.12812536 12.480469 -64.636822
    Unten links KachelX 70079 KachelY + 1 96652 0.21777733 -1.12814589 12.477722 -64.637998
    Unten rechts KachelX + 1 70080 KachelY + 1 96652 0.21782527 -1.12814589 12.480469 -64.637998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12812536--1.12814589) × R
    2.05300000000186e-05 × 6371000     		dl = 130.796630000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12812536--1.12814589) × R
    2.05300000000186e-05 × 6371000     		dr = 130.796630000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21777733-0.21782527) × cos(-1.12812536) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428354504504053 × 6371000     		do = 130.830491520474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21777733-0.21782527) × cos(-1.12814589) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428335953284734 × 6371000     		du = 130.824825500585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12812536)-sin(-1.12814589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428354504504053-0.428335953284734)×R²
    abs(0.21782527-0.21777733)×1.85512193194848e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85512193194848e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85512193194848e-05×40589641000000     		ar = 17111.816844526m²