Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7007 / 3624
↖ ↑ ↗
← N 70.318738°
W 26.037598°		 ← 822.87 m → N 70.318738°
W 26.015625°		 →
↑
823.01 m
↓
↑
823.01 m
↓
N 70.311337°
W 26.037598°		 ← 823.16 m →
677 345 m²		 N 70.311337°
W 26.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427703857421875 y=0.221221923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427703857421875 × 214)
    floor (0.427703857421875 × 16384)
    floor (7007.5)     		tx = 7007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221221923828125 × 214)
    floor (0.221221923828125 × 16384)
    floor (3624.5)     		ty = 3624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7007 / 3624 ti = "14/7007/3624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7007/3624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7007 ÷ 214
    7007 ÷ 16384     		x = 0.42767333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3624 ÷ 214
    3624 ÷ 16384     		y = 0.22119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42767333984375 × 2 - 1) × π
    -0.1446533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45444181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22119140625 × 2 - 1) × π
    0.5576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.75180605971533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45444181} λ = -0.45444181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75180605971533))-π/2
    2×atan(5.76500522305956)-π/2
    2×1.39904491953862-π/2
    2.79808983907723-1.57079632675     		φ = 1.22729351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45444181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.037598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22729351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.318738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7007 KachelY 3624 -0.45444181 1.22729351 -26.037598 70.318738
    Oben rechts KachelX + 1 7008 KachelY 3624 -0.45405831 1.22729351 -26.015625 70.318738
    Unten links KachelX 7007 KachelY + 1 3625 -0.45444181 1.22716433 -26.037598 70.311337
    Unten rechts KachelX + 1 7008 KachelY + 1 3625 -0.45405831 1.22716433 -26.015625 70.311337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22729351-1.22716433) × R
    0.000129180000000062 × 6371000     		dl = 823.005780000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22729351-1.22716433) × R
    0.000129180000000062 × 6371000     		dr = 823.005780000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45444181--0.45405831) × cos(1.22729351) × R
    0.000383499999999981 × 0.336787336368205 × 6371000     		do = 822.865258020664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45444181--0.45405831) × cos(1.22716433) × R
    0.000383499999999981 × 0.336908966957804 × 6371000     		du = 823.162435425172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22729351)-sin(1.22716433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336787336368205-0.336908966957804)×R²
    abs(-0.45405831--0.45444181)×0.000121630589598742×R²
    0.000383499999999981×0.000121630589598742×6371000²
    0.000383499999999981×0.000121630589598742×40589641000000     		ar = 677345.153815414m²