Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7006 / 1759
↖ ↑ ↗
← N 80.301630°
W 26.059570°		 ← 411.59 m → N 80.301630°
W 26.037598°		 →
↑
411.69 m
↓
↑
411.69 m
↓
N 80.297927°
W 26.059570°		 ← 411.74 m →
169 480 m²		 N 80.297927°
W 26.037598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427642822265625 y=0.107391357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427642822265625 × 214)
    floor (0.427642822265625 × 16384)
    floor (7006.5)     		tx = 7006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107391357421875 × 214)
    floor (0.107391357421875 × 16384)
    floor (1759.5)     		ty = 1759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7006 / 1759 ti = "14/7006/1759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7006/1759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7006 ÷ 214
    7006 ÷ 16384     		x = 0.4276123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1759 ÷ 214
    1759 ÷ 16384     		y = 0.10736083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4276123046875 × 2 - 1) × π
    -0.144775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45482530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10736083984375 × 2 - 1) × π
    0.7852783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46702460204657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45482530} λ = -0.45482530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46702460204657))-π/2
    2×atan(11.7873226476347)-π/2
    2×1.48616207720325-π/2
    2.9723241544065-1.57079632675     		φ = 1.40152783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45482530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.059570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40152783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.301630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7006 KachelY 1759 -0.45482530 1.40152783 -26.059570 80.301630
    Oben rechts KachelX + 1 7007 KachelY 1759 -0.45444181 1.40152783 -26.037598 80.301630
    Unten links KachelX 7006 KachelY + 1 1760 -0.45482530 1.40146321 -26.059570 80.297927
    Unten rechts KachelX + 1 7007 KachelY + 1 1760 -0.45444181 1.40146321 -26.037598 80.297927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40152783-1.40146321) × R
    6.46200000000707e-05 × 6371000     		dl = 411.694020000451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40152783-1.40146321) × R
    6.46200000000707e-05 × 6371000     		dr = 411.694020000451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45482530--0.45444181) × cos(1.40152783) × R
    0.000383489999999986 × 0.168461345450921 × 6371000     		do = 411.587250748975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45482530--0.45444181) × cos(1.40146321) × R
    0.000383489999999986 × 0.168525041566953 × 6371000     		du = 411.742874041731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40152783)-sin(1.40146321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168461345450921-0.168525041566953)×R²
    abs(-0.45444181--0.45482530)×6.36961160323801e-05×R²
    0.000383489999999986×6.36961160323801e-05×6371000²
    0.000383489999999986×6.36961160323801e-05×40589641000000     		ar = 169480.044490352m²