Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70056 / 96679
↖ ↑ ↗
← S 64.669744°
E 12.414551°		 ← 130.64 m → S 64.669744°
E 12.417297°		 →
↑
130.67 m
↓
↑
130.67 m
↓
S 64.670919°
E 12.414551°		 ← 130.64 m →
17 071 m²		 S 64.670919°
E 12.417297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534488677978516 y=0.737606048583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534488677978516 × 217)
    floor (0.534488677978516 × 131072)
    floor (70056.5)     		tx = 70056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737606048583984 × 217)
    floor (0.737606048583984 × 131072)
    floor (96679.5)     		ty = 96679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70056 / 96679 ti = "17/70056/96679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70056/96679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70056 ÷ 217
    70056 ÷ 131072     		x = 0.53448486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96679 ÷ 217
    96679 ÷ 131072     		y = 0.737602233886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53448486328125 × 2 - 1) × π
    0.0689697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.21667479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737602233886719 × 2 - 1) × π
    -0.475204467773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.49289886486741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21667479} λ = 0.21667479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49289886486741))-π/2
    2×atan(0.224720276702118)-π/2
    2×0.221048181741853-π/2
    0.442096363483707-1.57079632675     		φ = -1.12869996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21667479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.414551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12869996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.669744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70056 KachelY 96679 0.21667479 -1.12869996 12.414551 -64.669744
    Oben rechts KachelX + 1 70057 KachelY 96679 0.21672272 -1.12869996 12.417297 -64.669744
    Unten links KachelX 70056 KachelY + 1 96680 0.21667479 -1.12872047 12.414551 -64.670919
    Unten rechts KachelX + 1 70057 KachelY + 1 96680 0.21672272 -1.12872047 12.417297 -64.670919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12869996--1.12872047) × R
    2.05099999999181e-05 × 6371000     		dl = 130.669209999478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12869996--1.12872047) × R
    2.05099999999181e-05 × 6371000     		dr = 130.669209999478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21667479-0.21672272) × cos(-1.12869996) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.427835219071968 × 6371000     		do = 130.644631001315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21667479-0.21672272) × cos(-1.12872047) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.427816680880031 × 6371000     		du = 130.638970141393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12869996)-sin(-1.12872047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427835219071968-0.427816680880031)×R²
    abs(0.21672272-0.21667479)×1.85381919368122e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.85381919368122e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.85381919368122e-05×40589641000000     		ar = 17070.8608742146m²