Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7005 / 3691
↖ ↑ ↗
← N 69.816891°
W 26.081543°		 ← 842.98 m → N 69.816891°
W 26.059570°		 →
↑
843.07 m
↓
↑
843.07 m
↓
N 69.809309°
W 26.081543°		 ← 843.29 m →
710 826 m²		 N 69.809309°
W 26.059570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427581787109375 y=0.225311279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427581787109375 × 214)
    floor (0.427581787109375 × 16384)
    floor (7005.5)     		tx = 7005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225311279296875 × 214)
    floor (0.225311279296875 × 16384)
    floor (3691.5)     		ty = 3691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7005 / 3691 ti = "14/7005/3691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7005/3691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7005 ÷ 214
    7005 ÷ 16384     		x = 0.42755126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3691 ÷ 214
    3691 ÷ 16384     		y = 0.22528076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42755126953125 × 2 - 1) × π
    -0.1448974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45520880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22528076171875 × 2 - 1) × π
    0.5494384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.72611188151898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45520880} λ = -0.45520880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72611188151898))-π/2
    2×atan(5.61876495871234)-π/2
    2×1.39466547498187-π/2
    2.78933094996374-1.57079632675     		φ = 1.21853462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45520880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.081543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21853462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.816891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7005 KachelY 3691 -0.45520880 1.21853462 -26.081543 69.816891
    Oben rechts KachelX + 1 7006 KachelY 3691 -0.45482530 1.21853462 -26.059570 69.816891
    Unten links KachelX 7005 KachelY + 1 3692 -0.45520880 1.21840229 -26.081543 69.809309
    Unten rechts KachelX + 1 7006 KachelY + 1 3692 -0.45482530 1.21840229 -26.059570 69.809309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21853462-1.21840229) × R
    0.000132330000000014 × 6371000     		dl = 843.074430000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21853462-1.21840229) × R
    0.000132330000000014 × 6371000     		dr = 843.074430000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45520880--0.45482530) × cos(1.21853462) × R
    0.000383500000000037 × 0.345021514276492 × 6371000     		do = 842.983647869277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45520880--0.45482530) × cos(1.21840229) × R
    0.000383500000000037 × 0.345145715502044 × 6371000     		du = 843.28710605334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21853462)-sin(1.21840229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345021514276492-0.345145715502044)×R²
    abs(-0.45482530--0.45520880)×0.000124201225551457×R²
    0.000383500000000037×0.000124201225551457×6371000²
    0.000383500000000037×0.000124201225551457×40589641000000     		ar = 710825.878381849m²