Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7005 / 3622
↖ ↑ ↗
← N 70.333533°
W 26.081543°		 ← 822.27 m → N 70.333533°
W 26.059570°		 →
↑
822.37 m
↓
↑
822.37 m
↓
N 70.326138°
W 26.081543°		 ← 822.57 m →
676 332 m²		 N 70.326138°
W 26.059570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427581787109375 y=0.221099853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427581787109375 × 214)
    floor (0.427581787109375 × 16384)
    floor (7005.5)     		tx = 7005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221099853515625 × 214)
    floor (0.221099853515625 × 16384)
    floor (3622.5)     		ty = 3622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7005 / 3622 ti = "14/7005/3622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7005/3622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7005 ÷ 214
    7005 ÷ 16384     		x = 0.42755126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3622 ÷ 214
    3622 ÷ 16384     		y = 0.2210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42755126953125 × 2 - 1) × π
    -0.1448974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45520880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2210693359375 × 2 - 1) × π
    0.557861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.75257305010925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45520880} λ = -0.45520880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75257305010925))-π/2
    2×atan(5.76942862282227)-π/2
    2×1.3991740292362-π/2
    2.7983480584724-1.57079632675     		φ = 1.22755173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45520880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.081543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22755173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.333533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7005 KachelY 3622 -0.45520880 1.22755173 -26.081543 70.333533
    Oben rechts KachelX + 1 7006 KachelY 3622 -0.45482530 1.22755173 -26.059570 70.333533
    Unten links KachelX 7005 KachelY + 1 3623 -0.45520880 1.22742265 -26.081543 70.326138
    Unten rechts KachelX + 1 7006 KachelY + 1 3623 -0.45482530 1.22742265 -26.059570 70.326138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22755173-1.22742265) × R
    0.000129080000000004 × 6371000     		dl = 822.368680000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22755173-1.22742265) × R
    0.000129080000000004 × 6371000     		dr = 822.368680000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45520880--0.45482530) × cos(1.22755173) × R
    0.000383500000000037 × 0.336544190164127 × 6371000     		do = 822.271184128002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45520880--0.45482530) × cos(1.22742265) × R
    0.000383500000000037 × 0.336665737823446 × 6371000     		du = 822.568158910742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22755173)-sin(1.22742265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336544190164127-0.336665737823446)×R²
    abs(-0.45482530--0.45520880)×0.00012154765931921×R²
    0.000383500000000037×0.00012154765931921×6371000²
    0.000383500000000037×0.00012154765931921×40589641000000     		ar = 676332.180611577m²