Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70045 / 95851
↖ ↑ ↗
← S 63.679160°
E 12.384338°		 ← 135.42 m → S 63.679160°
E 12.387085°		 →
↑
135.38 m
↓
↑
135.38 m
↓
S 63.680377°
E 12.384338°		 ← 135.42 m →
18 334 m²		 S 63.680377°
E 12.387085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534404754638672 y=0.731288909912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534404754638672 × 217)
    floor (0.534404754638672 × 131072)
    floor (70045.5)     		tx = 70045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731288909912109 × 217)
    floor (0.731288909912109 × 131072)
    floor (95851.5)     		ty = 95851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70045 / 95851 ti = "17/70045/95851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70045/95851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70045 ÷ 217
    70045 ÷ 131072     		x = 0.534400939941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95851 ÷ 217
    95851 ÷ 131072     		y = 0.731285095214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534400939941406 × 2 - 1) × π
    0.0688018798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.21614748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731285095214844 × 2 - 1) × π
    -0.462570190429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.453207111982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21614748} λ = 0.21614748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.453207111982))-π/2
    2×atan(0.233819199967875)-π/2
    2×0.229692663446573-π/2
    0.459385326893146-1.57079632675     		φ = -1.11141100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21614748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.384338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11141100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.679160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70045 KachelY 95851 0.21614748 -1.11141100 12.384338 -63.679160
    Oben rechts KachelX + 1 70046 KachelY 95851 0.21619542 -1.11141100 12.387085 -63.679160
    Unten links KachelX 70045 KachelY + 1 95852 0.21614748 -1.11143225 12.384338 -63.680377
    Unten rechts KachelX + 1 70046 KachelY + 1 95852 0.21619542 -1.11143225 12.387085 -63.680377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11141100--1.11143225) × R
    2.12500000000837e-05 × 6371000     		dl = 135.383750000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11141100--1.11143225) × R
    2.12500000000837e-05 × 6371000     		dr = 135.383750000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21614748-0.21619542) × cos(-1.11141100) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.443397243672675 × 6371000     		do = 135.424931262677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21614748-0.21619542) × cos(-1.11143225) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.443378196661826 × 6371000     		du = 135.419113815293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11141100)-sin(-1.11143225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443397243672675-0.443378196661826)×R²
    abs(0.21619542-0.21614748)×1.9047010848261e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.9047010848261e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.9047010848261e-05×40589641000000     		ar = 18333.9412447008m²