Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70044 / 97777
↖ ↑ ↗
← S 65.929674°
E 12.381592°		 ← 124.57 m → S 65.929674°
E 12.384338°		 →
↑
124.55 m
↓
↑
124.55 m
↓
S 65.930794°
E 12.381592°		 ← 124.56 m →
15 515 m²		 S 65.930794°
E 12.384338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534397125244141 y=0.745983123779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534397125244141 × 217)
    floor (0.534397125244141 × 131072)
    floor (70044.5)     		tx = 70044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745983123779297 × 217)
    floor (0.745983123779297 × 131072)
    floor (97777.5)     		ty = 97777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70044 / 97777 ti = "17/70044/97777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70044/97777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70044 ÷ 217
    70044 ÷ 131072     		x = 0.534393310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97777 ÷ 217
    97777 ÷ 131072     		y = 0.745979309082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534393310546875 × 2 - 1) × π
    0.06878662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21609954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745979309082031 × 2 - 1) × π
    -0.491958618164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.54553358065023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21609954} λ = 0.21609954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54553358065023))-π/2
    2×atan(0.213198082496397)-π/2
    2×0.21005321972629-π/2
    0.420106439452581-1.57079632675     		φ = -1.15068989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21609954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.381592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15068989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.929674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70044 KachelY 97777 0.21609954 -1.15068989 12.381592 -65.929674
    Oben rechts KachelX + 1 70045 KachelY 97777 0.21614748 -1.15068989 12.384338 -65.929674
    Unten links KachelX 70044 KachelY + 1 97778 0.21609954 -1.15070944 12.381592 -65.930794
    Unten rechts KachelX + 1 70045 KachelY + 1 97778 0.21614748 -1.15070944 12.384338 -65.930794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15068989--1.15070944) × R
    1.95499999999793e-05 × 6371000     		dl = 124.553049999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15068989--1.15070944) × R
    1.95499999999793e-05 × 6371000     		dr = 124.553049999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21609954-0.21614748) × cos(-1.15068989) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.407857637009933 × 6371000     		do = 124.5702205984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21609954-0.21614748) × cos(-1.15070944) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.407839786891794 × 6371000     		du = 124.564768712859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15068989)-sin(-1.15070944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407857637009933-0.407839786891794)×R²
    abs(0.21614748-0.21609954)×1.7850118138929e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.7850118138929e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.7850118138929e-05×40589641000000     		ar = 15515.261390829m²