Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70040 / 97720
↖ ↑ ↗
← S 65.865742°
E 12.370606°		 ← 124.86 m → S 65.865742°
E 12.373352°		 →
↑
124.87 m
↓
↑
124.87 m
↓
S 65.866865°
E 12.370606°		 ← 124.85 m →
15 591 m²		 S 65.866865°
E 12.373352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534366607666016 y=0.745548248291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534366607666016 × 217)
    floor (0.534366607666016 × 131072)
    floor (70040.5)     		tx = 70040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745548248291016 × 217)
    floor (0.745548248291016 × 131072)
    floor (97720.5)     		ty = 97720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70040 / 97720 ti = "17/70040/97720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70040/97720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70040 ÷ 217
    70040 ÷ 131072     		x = 0.53436279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97720 ÷ 217
    97720 ÷ 131072     		y = 0.74554443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53436279296875 × 2 - 1) × π
    0.0687255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21590780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74554443359375 × 2 - 1) × π
    -0.4910888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54280117737189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21590780} λ = 0.21590780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54280117737189))-π/2
    2×atan(0.213781422232715)-π/2
    2×0.21061113103788-π/2
    0.42122226207576-1.57079632675     		φ = -1.14957406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21590780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.370606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14957406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.865742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70040 KachelY 97720 0.21590780 -1.14957406 12.370606 -65.865742
    Oben rechts KachelX + 1 70041 KachelY 97720 0.21595573 -1.14957406 12.373352 -65.865742
    Unten links KachelX 70040 KachelY + 1 97721 0.21590780 -1.14959366 12.370606 -65.866865
    Unten rechts KachelX + 1 70041 KachelY + 1 97721 0.21595573 -1.14959366 12.373352 -65.866865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14957406--1.14959366) × R
    1.96000000001195e-05 × 6371000     		dl = 124.871600000761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14957406--1.14959366) × R
    1.96000000001195e-05 × 6371000     		dr = 124.871600000761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21590780-0.21595573) × cos(-1.14957406) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.408876186490223 × 6371000     		do = 124.855262325317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21590780-0.21595573) × cos(-1.14959366) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.408858299650308 × 6371000     		du = 124.84980036357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14957406)-sin(-1.14959366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408876186490223-0.408858299650308)×R²
    abs(0.21595573-0.21590780)×1.78868399158816e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.78868399158816e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.78868399158816e-05×40589641000000     		ar = 15590.5353537691m²