Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7004 / 5453
↖ ↑ ↗
← N 51.440313°
W 26.103515°		 ← 1 522.93 m → N 51.440313°
W 26.081543°		 →
↑
1 523.18 m
↓
↑
1 523.18 m
↓
N 51.426615°
W 26.103515°		 ← 1 523.38 m →
2 320 039 m²		 N 51.426615°
W 26.081543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427520751953125 y=0.332855224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427520751953125 × 214)
    floor (0.427520751953125 × 16384)
    floor (7004.5)     		tx = 7004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332855224609375 × 214)
    floor (0.332855224609375 × 16384)
    floor (5453.5)     		ty = 5453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7004 / 5453 ti = "14/7004/5453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7004/5453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7004 ÷ 214
    7004 ÷ 16384     		x = 0.427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5453 ÷ 214
    5453 ÷ 16384     		y = 0.33282470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.14501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45559229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33282470703125 × 2 - 1) × π
    0.3343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05039334447467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45559229} λ = -0.45559229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05039334447467))-π/2
    2×atan(2.85877538043769)-π/2
    2×1.23429957632213-π/2
    2.46859915264427-1.57079632675     		φ = 0.89780283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45559229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.103515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89780283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.440313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7004 KachelY 5453 -0.45559229 0.89780283 -26.103515 51.440313
    Oben rechts KachelX + 1 7005 KachelY 5453 -0.45520880 0.89780283 -26.081543 51.440313
    Unten links KachelX 7004 KachelY + 1 5454 -0.45559229 0.89756375 -26.103515 51.426615
    Unten rechts KachelX + 1 7005 KachelY + 1 5454 -0.45520880 0.89756375 -26.081543 51.426615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89780283-0.89756375) × R
    0.000239080000000058 × 6371000     		dl = 1523.17868000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89780283-0.89756375) × R
    0.000239080000000058 × 6371000     		dr = 1523.17868000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45559229--0.45520880) × cos(0.89780283) × R
    0.000383489999999986 × 0.623329568844039 × 6371000     		do = 1522.92802164403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45559229--0.45520880) × cos(0.89756375) × R
    0.000383489999999986 × 0.623516501842158 × 6371000     		du = 1523.38473910977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89780283)-sin(0.89756375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623329568844039-0.623516501842158)×R²
    abs(-0.45520880--0.45559229)×0.000186932998119005×R²
    0.000383489999999986×0.000186932998119005×6371000²
    0.000383489999999986×0.000186932998119005×40589641000000     		ar = 2320039.33594755m²