Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7004 / 1691
↖ ↑ ↗
← N 80.550126°
W 26.103515°		 ← 401.14 m → N 80.550126°
W 26.081543°		 →
↑
401.18 m
↓
↑
401.18 m
↓
N 80.546518°
W 26.103515°		 ← 401.29 m →
160 960 m²		 N 80.546518°
W 26.081543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427520751953125 y=0.103240966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427520751953125 × 214)
    floor (0.427520751953125 × 16384)
    floor (7004.5)     		tx = 7004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103240966796875 × 214)
    floor (0.103240966796875 × 16384)
    floor (1691.5)     		ty = 1691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7004 / 1691 ti = "14/7004/1691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7004/1691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7004 ÷ 214
    7004 ÷ 16384     		x = 0.427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1691 ÷ 214
    1691 ÷ 16384     		y = 0.10321044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.14501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45559229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10321044921875 × 2 - 1) × π
    0.7935791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49310227543988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45559229} λ = -0.45559229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49310227543988))-π/2
    2×atan(12.0987516207332)-π/2
    2×1.48833061970431-π/2
    2.97666123940861-1.57079632675     		φ = 1.40586491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45559229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.103515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40586491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.550126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7004 KachelY 1691 -0.45559229 1.40586491 -26.103515 80.550126
    Oben rechts KachelX + 1 7005 KachelY 1691 -0.45520880 1.40586491 -26.081543 80.550126
    Unten links KachelX 7004 KachelY + 1 1692 -0.45559229 1.40580194 -26.103515 80.546518
    Unten rechts KachelX + 1 7005 KachelY + 1 1692 -0.45520880 1.40580194 -26.081543 80.546518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40586491-1.40580194) × R
    6.29700000001066e-05 × 6371000     		dl = 401.181870000679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40586491-1.40580194) × R
    6.29700000001066e-05 × 6371000     		dr = 401.181870000679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45559229--0.45520880) × cos(1.40586491) × R
    0.000383489999999986 × 0.164184678871858 × 6371000     		do = 401.13843571111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45559229--0.45520880) × cos(1.40580194) × R
    0.000383489999999986 × 0.164246794019347 × 6371000     		du = 401.290196358138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40586491)-sin(1.40580194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164184678871858-0.164246794019347)×R²
    abs(-0.45520880--0.45559229)×6.21151474888559e-05×R²
    0.000383489999999986×6.21151474888559e-05×6371000²
    0.000383489999999986×6.21151474888559e-05×40589641000000     		ar = 160959.909631468m²