Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70032 / 95853
↖ ↑ ↗
← S 63.681595°
E 12.348633°		 ← 135.41 m → S 63.681595°
E 12.351380°		 →
↑
135.38 m
↓
↑
135.38 m
↓
S 63.682813°
E 12.348633°		 ← 135.41 m →
18 332 m²		 S 63.682813°
E 12.351380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534305572509766 y=0.731304168701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534305572509766 × 217)
    floor (0.534305572509766 × 131072)
    floor (70032.5)     		tx = 70032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731304168701172 × 217)
    floor (0.731304168701172 × 131072)
    floor (95853.5)     		ty = 95853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70032 / 95853 ti = "17/70032/95853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70032/95853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70032 ÷ 217
    70032 ÷ 131072     		x = 0.5343017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95853 ÷ 217
    95853 ÷ 131072     		y = 0.731300354003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5343017578125 × 2 - 1) × π
    0.068603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.21552430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731300354003906 × 2 - 1) × π
    -0.462600708007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.45330298578124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21552430} λ = 0.21552430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45330298578124))-π/2
    2×atan(0.233796783907412)-π/2
    2×0.229671409270656-π/2
    0.459342818541311-1.57079632675     		φ = -1.11145351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21552430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.348633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11145351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.681595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70032 KachelY 95853 0.21552430 -1.11145351 12.348633 -63.681595
    Oben rechts KachelX + 1 70033 KachelY 95853 0.21557224 -1.11145351 12.351380 -63.681595
    Unten links KachelX 70032 KachelY + 1 95854 0.21552430 -1.11147476 12.348633 -63.682813
    Unten rechts KachelX + 1 70033 KachelY + 1 95854 0.21557224 -1.11147476 12.351380 -63.682813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11145351--1.11147476) × R
    2.12499999998617e-05 × 6371000     		dl = 135.383749999119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11145351--1.11147476) × R
    2.12499999998617e-05 × 6371000     		dr = 135.383749999119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21552430-0.21557224) × cos(-1.11145351) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.443359140487325 × 6371000     		do = 135.413293569095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21552430-0.21557224) × cos(-1.11147476) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.443340093075965 × 6371000     		du = 135.407475999385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11145351)-sin(-1.11147476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443359140487325-0.443340093075965)×R²
    abs(0.21557224-0.21552430)×1.90474113596628e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.90474113596628e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.90474113596628e-05×40589641000000     		ar = 18332.3656817596m²