Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70031 / 95857
↖ ↑ ↗
← S 63.686465°
E 12.345886°		 ← 135.39 m → S 63.686465°
E 12.348633°		 →
↑
135.38 m
↓
↑
135.38 m
↓
S 63.687683°
E 12.345886°		 ← 135.38 m →
18 329 m²		 S 63.687683°
E 12.348633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534297943115234 y=0.731334686279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534297943115234 × 217)
    floor (0.534297943115234 × 131072)
    floor (70031.5)     		tx = 70031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731334686279297 × 217)
    floor (0.731334686279297 × 131072)
    floor (95857.5)     		ty = 95857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70031 / 95857 ti = "17/70031/95857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70031/95857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70031 ÷ 217
    70031 ÷ 131072     		x = 0.534294128417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95857 ÷ 217
    95857 ÷ 131072     		y = 0.731330871582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534294128417969 × 2 - 1) × π
    0.0685882568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21547636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731330871582031 × 2 - 1) × π
    -0.462661743164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.45349473337972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21547636} λ = 0.21547636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45349473337972))-π/2
    2×atan(0.233751958233311)-π/2
    2×0.229628906397958-π/2
    0.459257812795916-1.57079632675     		φ = -1.11153851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21547636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.345886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11153851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.686465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70031 KachelY 95857 0.21547636 -1.11153851 12.345886 -63.686465
    Oben rechts KachelX + 1 70032 KachelY 95857 0.21552430 -1.11153851 12.348633 -63.686465
    Unten links KachelX 70031 KachelY + 1 95858 0.21547636 -1.11155976 12.345886 -63.687683
    Unten rechts KachelX + 1 70032 KachelY + 1 95858 0.21552430 -1.11155976 12.348633 -63.687683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11153851--1.11155976) × R
    2.12500000000837e-05 × 6371000     		dl = 135.383750000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11153851--1.11155976) × R
    2.12500000000837e-05 × 6371000     		dr = 135.383750000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21547636-0.21552430) × cos(-1.11153851) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.443282949640746 × 6371000     		do = 135.390022923397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21547636-0.21552430) × cos(-1.11155976) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.443263901428654 × 6371000     		du = 135.384205109123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11153851)-sin(-1.11155976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443282949640746-0.443263901428654)×R²
    abs(0.21552430-0.21547636)×1.9048212091255e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.9048212091255e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.9048212091255e-05×40589641000000     		ar = 18329.2151979321m²