Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7003 / 5451
↖ ↑ ↗
← N 51.467697°
W 26.125488°		 ← 1 522.05 m → N 51.467697°
W 26.103515°		 →
↑
1 522.29 m
↓
↑
1 522.29 m
↓
N 51.454007°
W 26.125488°		 ← 1 522.51 m →
2 317 351 m²		 N 51.454007°
W 26.103515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427459716796875 y=0.332733154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427459716796875 × 214)
    floor (0.427459716796875 × 16384)
    floor (7003.5)     		tx = 7003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332733154296875 × 214)
    floor (0.332733154296875 × 16384)
    floor (5451.5)     		ty = 5451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7003 / 5451 ti = "14/7003/5451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7003/5451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7003 ÷ 214
    7003 ÷ 16384     		x = 0.42742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5451 ÷ 214
    5451 ÷ 16384     		y = 0.33270263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.1451416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45597579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33270263671875 × 2 - 1) × π
    0.3345947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05116033486859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45597579} λ = -0.45597579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05116033486859))-π/2
    2×atan(2.86096887477988)-π/2
    2×1.23453854854047-π/2
    2.46907709708094-1.57079632675     		φ = 0.89828077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45597579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.125488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89828077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.467697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7003 KachelY 5451 -0.45597579 0.89828077 -26.125488 51.467697
    Oben rechts KachelX + 1 7004 KachelY 5451 -0.45559229 0.89828077 -26.103515 51.467697
    Unten links KachelX 7003 KachelY + 1 5452 -0.45597579 0.89804183 -26.125488 51.454007
    Unten rechts KachelX + 1 7004 KachelY + 1 5452 -0.45559229 0.89804183 -26.103515 51.454007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89828077-0.89804183) × R
    0.00023893999999991 × 6371000     		dl = 1522.28673999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89828077-0.89804183) × R
    0.00023893999999991 × 6371000     		dr = 1522.28673999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45597579--0.45559229) × cos(0.89828077) × R
    0.000383499999999981 × 0.622955768067913 × 6371000     		do = 1522.05443457124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45597579--0.45559229) × cos(0.89804183) × R
    0.000383499999999981 × 0.62314266278553 × 6371000     		du = 1522.51107041656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89828077)-sin(0.89804183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622955768067913-0.62314266278553)×R²
    abs(-0.45559229--0.45597579)×0.000186894717616792×R²
    0.000383499999999981×0.000186894717616792×6371000²
    0.000383499999999981×0.000186894717616792×40589641000000     		ar = 2317350.85967549m²